Algèbre Exemples

$\frac{2 n + 1}{3 n + 1} \leq \frac{n - 1}{3 n + 1}$

Étape 1

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$2 n + 1 \leq n - 1$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant $n$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 2.1

Soustrayez $n$ des deux côtés de l’inégalité.

$2 n + 1 - n \leq - 1$

Étape 2.2

Soustrayez $n$ de $2 n$ .

$n + 1 \leq - 1$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $n$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$n \leq - 1 - 1$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$n \leq - 2$

Étape 4

Déterminez le domaine de $\frac{n + 2}{3 n + 1}$ .

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{n + 2}{3 n + 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 n + 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $n$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 n = - 1$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 n = - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 n = - 1$ par $3$ .

$\frac{3 n}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 n}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $n$ par $1$ .

$n = \frac{- 1}{3}$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$n = - \frac{1}{3}$

Étape 4.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $n$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (- \frac{1}{3}, \infty)$

Étape 5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$n < - 2$

$- 2 < n < - \frac{1}{3}$

$n > - \frac{1}{3}$

Étape 6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $n < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $n < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$n = - 4$

Étape 6.1.2

Remplacez $n$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (- 4) + 1}{3 (- 4) + 1} \leq \frac{(- 4) - 1}{3 (- 4) + 1}$

Étape 6.1.3

Le côté gauche $0.\overline{63}$ est supérieur au côté droit $0.\overline{45}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < n < - \frac{1}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < n < - \frac{1}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$n = - 1$

Étape 6.2.2

Remplacez $n$ par $- 1$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (- 1) + 1}{3 (- 1) + 1} \leq \frac{(- 1) - 1}{3 (- 1) + 1}$

Étape 6.2.3

Le côté gauche $0.5$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $n > - \frac{1}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $n > - \frac{1}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$n = 0$

Étape 6.3.2

Remplacez $n$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (0) + 1}{3 (0) + 1} \leq \frac{(0) - 1}{3 (0) + 1}$

Étape 6.3.3

Le côté gauche $1$ est supérieur au côté droit $- 1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$n < - 2$ Faux

$- 2 < n < - \frac{1}{3}$ Vrai

$n > - \frac{1}{3}$ Faux

$n < - 2$ Faux

$- 2 < n < - \frac{1}{3}$ Vrai

$n > - \frac{1}{3}$ Faux

Étape 7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 2 \leq n < - \frac{1}{3}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 2 \leq n < - \frac{1}{3}$

Notation d’intervalle :

$[- 2, - \frac{1}{3})$

Étape 9