Algèbre Exemples

$x^{2} - 8 x + y^{2} + 6 y = - 9$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$x^{2} - 8 x + {(0)}^{2} + 6 (0) = - 9$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Simplifiez $x^{2} - 8 x + {(0)}^{2} + 6 (0)$ .

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{2} - 8 x + 0 + 6 (0) = - 9$

Étape 1.2.1.1.2

Multipliez $6$ par $0$ .

$x^{2} - 8 x + 0 + 0 = - 9$

Étape 1.2.1.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 8 x + 0 + 0$ .

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Étape 1.2.1.2.1

Additionnez $x^{2} - 8 x$ et $0$ .

$x^{2} - 8 x + 0 = - 9$

Étape 1.2.1.2.2

Additionnez $x^{2} - 8 x$ et $0$ .

$x^{2} - 8 x = - 9$

Étape 1.2.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 8 x + 9 = 0$

Étape 1.2.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 8$ et $c = 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5

Simplifiez

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Étape 1.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Étape 1.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.3

Soustrayez $36$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.4

Réécrivez $28$ comme $2^{2} \cdot 7$ .

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Étape 1.2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Étape 1.2.5.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{7}$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Étape 1.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.3

Soustrayez $36$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.4

Réécrivez $28$ comme $2^{2} \cdot 7$ .

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Étape 1.2.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Étape 1.2.6.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{7}$

Étape 1.2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 4 + \sqrt{7}$

Étape 1.2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.7.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Étape 1.2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.3

Soustrayez $36$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.4

Réécrivez $28$ comme $2^{2} \cdot 7$ .

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Étape 1.2.7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Étape 1.2.7.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{7}$

Étape 1.2.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 4 - \sqrt{7}$

Étape 1.2.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 4 + \sqrt{7}, 4 - \sqrt{7}$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(4 + \sqrt{7}, 0), (4 - \sqrt{7}, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

${(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + y^{2} + 6 y = - 9$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + y^{2} + 6 y$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 8 \cdot 0 + y^{2} + 6 y = - 9$

Étape 2.2.1.1.2

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$0 + 0 + y^{2} + 6 y = - 9$

Étape 2.2.1.2

Associez les termes opposés dans $0 + 0 + y^{2} + 6 y$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + y^{2} + 6 y = - 9$

Étape 2.2.1.2.2

Additionnez $0$ et $y^{2}$ .

$y^{2} + 6 y = - 9$

Étape 2.2.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{2} + 6 y + 9 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y^{2} + 6 y + 3^{2} = 0$

Étape 2.2.3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 y = 2 \cdot y \cdot 3$

Étape 2.2.3.3

Réécrivez le polynôme.

$y^{2} + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Étape 2.2.3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = y$ et $b = 3$ .

${(y + 3)}^{2} = 0$

Étape 2.2.4

Définissez le $y + 3$ égal à $0$ .

$y + 3 = 0$

Étape 2.2.5

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 3$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 3)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(4 + \sqrt{7}, 0), (4 - \sqrt{7}, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 3)$

Étape 4