Algèbre Exemples

$\ln (x) \leq 9$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une égalité.

$\ln (x) = 9$

Étape 2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.1

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{9}$

Étape 2.2

Réécrivez $\ln (x) = 9$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{9} = x$

Étape 2.3

Réécrivez l’équation comme $x = e^{9}$ .

$x = e^{9}$

Étape 3

Déterminez le domaine de $\ln (x) - 9$ .

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x > 0$

Étape 3.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(0, \infty)$

Étape 4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < e^{9}$

$x > e^{9}$

Étape 5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 5.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\ln (- 2) \leq 9$

Étape 5.1.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

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Étape 5.1.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.1.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < e^{9}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < e^{9}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 5.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\ln (2) \leq 9$

Étape 5.2.3

Le côté gauche $0.69314718$ est inférieur au côté droit $9$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 5.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > e^{9}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > e^{9}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8106$

Étape 5.3.2

Remplacez $x$ par $8106$ dans l’inégalité d’origine.

$\ln (8106) \leq 9$

Étape 5.3.3

Le côté gauche $9.0003598$ est supérieur au côté droit $9$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < e^{9}$ Vrai

$x > e^{9}$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < e^{9}$ Vrai

$x > e^{9}$ Faux

Étape 6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x \leq e^{9}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$0 < x \leq e^{9}$

Notation d’intervalle :

$(0, e^{9}]$

Étape 8