Algèbre Exemples

$\sqrt{{(x - 1)}^{2}} = 1 - x$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{{(x - 1)}^{2}}}^{2} = {(1 - x)}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{{(x - 1)}^{2}}$ comme ${(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$ .

${({(x - 1)}^{\frac{2}{2}})}^{2} = {(1 - x)}^{2}$

Étape 2.2

Divisez $2$ par $2$ .

${({(x - 1)}^{1})}^{2} = {(1 - x)}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 1)}^{1})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{1 \cdot 2} = {(1 - x)}^{2}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

${(x - 1)}^{2} = {(1 - x)}^{2}$

Étape 2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.1

Simplifiez ${(1 - x)}^{2}$ .

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Étape 2.4.1.1

Réécrivez ${(1 - x)}^{2}$ comme $(1 - x) (1 - x)$ .

${(x - 1)}^{2} = (1 - x) (1 - x)$

Étape 2.4.1.2

Développez $(1 - x) (1 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

${(x - 1)}^{2} = 1 (1 - x) - x (1 - x)$

Étape 2.4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

${(x - 1)}^{2} = 1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)$

Étape 2.4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

${(x - 1)}^{2} = 1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)$

Étape 2.4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

${(x - 1)}^{2} = 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)$

Étape 2.4.1.3.1.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

${(x - 1)}^{2} = 1 - x - x \cdot 1 - x (- x)$

Étape 2.4.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

${(x - 1)}^{2} = 1 - x - x - x (- x)$

Étape 2.4.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(x - 1)}^{2} = 1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Étape 2.4.1.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

${(x - 1)}^{2} = 1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Étape 2.4.1.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

${(x - 1)}^{2} = 1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Étape 2.4.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 1 - x - x + 1 x^{2}$

Étape 2.4.1.3.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

${(x - 1)}^{2} = 1 - x - x + x^{2}$

Étape 2.4.1.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

${(x - 1)}^{2} = 1 - 2 x + x^{2}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$1 - 2 x + x^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez ${(x - 1)}^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Réécrivez.

$1 - 2 x + x^{2} = 0 + 0 + {(x - 1)}^{2}$

Étape 3.2.2

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$1 - 2 x + x^{2} = (x - 1) (x - 1)$

Étape 3.2.3

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 - 2 x + x^{2} = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Étape 3.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 - 2 x + x^{2} = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Étape 3.2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 - 2 x + x^{2} = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 3.2.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$1 - 2 x + x^{2} = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 3.2.4.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$1 - 2 x + x^{2} = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 3.2.4.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$1 - 2 x + x^{2} = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 3.2.4.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$1 - 2 x + x^{2} = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Étape 3.2.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 - 2 x + x^{2} = x^{2} - x - x + 1$

Étape 3.2.4.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$1 - 2 x + x^{2} = x^{2} - 2 x + 1$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$1 - 2 x + x^{2} - x^{2} = - 2 x + 1$

Étape 3.3.2

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$1 - 2 x + x^{2} - x^{2} + 2 x = 1$

Étape 3.3.3

Associez les termes opposés dans $1 - 2 x + x^{2} - x^{2} + 2 x$ .

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Étape 3.3.3.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$1 - 2 x + 0 + 2 x = 1$

Étape 3.3.3.2

Additionnez $1 - 2 x$ et $0$ .

$1 - 2 x + 2 x = 1$

Étape 3.3.3.3

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$1 + 0 = 1$

Étape 3.3.3.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 = 1$

Étape 3.4

Comme $1 = 1$ , l’équation sera toujours vraie.

Toujours vrai

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Toujours vrai

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$