Algèbre Exemples

$1 - \frac{3}{x - 1} = - \frac{6}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Ajoutez $\frac{6}{x^{2} - 1}$ aux deux côtés de l’équation.

$1 - \frac{3}{x - 1} + \frac{6}{x^{2} - 1} = 0$

Étape 2

Simplifiez $1 - \frac{3}{x - 1} + \frac{6}{x^{2} - 1}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$1 - \frac{3}{x - 1} + \frac{6}{x^{2} - 1^{2}} = 0$

Étape 2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$1 - \frac{3}{x - 1} + \frac{6}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x - 1}{x - 1} - \frac{3}{x - 1} + \frac{6}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 1 - 3}{x - 1} + \frac{6}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.4

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$\frac{x - 4}{x - 1} + \frac{6}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.5

Pour écrire $\frac{x - 4}{x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 4}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{6}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 1) (x + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.6.1

Multipliez $\frac{x - 4}{x - 1}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 4) (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} + \frac{6}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.6.2

Réorganisez les facteurs de $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{(x - 4) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{6}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x - 4) (x + 1) + 6}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.1

Développez $(x - 4) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x + 1) - 4 (x + 1) + 6}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.8.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - 4 (x + 1) + 6}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1 + 6}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.8.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1 + 6}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.8.2.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x - 4 x - 4 \cdot 1 + 6}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.8.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x - 4 x - 4 + 6}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.8.2.2

Soustrayez $4 x$ de $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 + 6}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.8.3

Additionnez $- 4$ et $6$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.8.4

Factorisez $x^{2} - 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.8.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 2, - 1$

Étape 2.8.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 2.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 2}{x + 1} = 0$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 2}{x + 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 1 = 0$

Étape 4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 5