Algèbre Exemples

$(x^{4} + 5 x^{2} - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Étape 1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$({(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Étape 2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$(u^{2} + 5 u - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Étape 3

Factorisez $u^{2} + 5 u - 36$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 36$ et dont la somme est $5$ .

$- 4, 9$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 4) (u + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$(x^{2} - 4) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Étape 5

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Étape 6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Étape 7

Factorisez.

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Étape 7.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ et dont la somme est $b = 9$ .

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Étape 7.1.1.1

Factorisez $9$ à partir de $9 x$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 (x) - 5) = 0$

Étape 7.1.1.2

Réécrivez $9$ comme $- 1$ plus $10$

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + (- 1 + 10) x - 5) = 0$

Étape 7.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} - 1 x + 10 x - 5) = 0$

Étape 7.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) ((2 x^{2} - 1 x) + 10 x - 5) = 0$

Étape 7.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1)) = 0$

Étape 7.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) ((2 x - 1) (x + 5)) = 0$

Étape 7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x - 1) (x + 5) = 0$

Étape 8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 9

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 9.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 10

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 10.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 11

Définissez $x^{2} + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x^{2} + 9$ égal à $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $x^{2} + 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 9$

Étape 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Étape 11.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Étape 11.2.3.1

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Étape 11.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (9)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Étape 11.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Étape 11.2.3.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Étape 11.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 3$

Étape 11.2.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Étape 11.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3 i$

Étape 11.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3 i$

Étape 11.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3 i, - 3 i$

Étape 12

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 12.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 12.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 12.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 12.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 12.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 13

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 13.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x - 1) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = - 2, 2, 3 i, - 3 i, \frac{1}{2}, - 5$