Algèbre Exemples

$\frac{4 x^{4} + 4}{x^{2} + 1} - \frac{8}{x^{2} + 1}$

Étape 1

Associez les fractions.

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Étape 1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 x^{4} + 4 - 8}{x^{2} + 1}$

Étape 1.2

Soustrayez $8$ de $4$ .

$\frac{4 x^{4} - 4}{x^{2} + 1}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{4} - 4$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{4}$ .

$\frac{4 (x^{4}) - 4}{x^{2} + 1}$

Étape 2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{4 (x^{4}) + 4 (- 1)}{x^{2} + 1}$

Étape 2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{4}) + 4 (- 1)$ .

$\frac{4 (x^{4} - 1)}{x^{2} + 1}$

Étape 2.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{4 ({(x^{2})}^{2} - 1)}{x^{2} + 1}$

Étape 2.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{4 ({(x^{2})}^{2} - 1^{2})}{x^{2} + 1}$

Étape 2.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 1$ .

$\frac{4 ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1))}{x^{2} + 1}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{4 ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}))}{x^{2} + 1}$

Étape 2.5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{4 ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}{x^{2} + 1}$

$\frac{4 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 1$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1}$

Étape 3.1.2

Divisez $(4 (x + 1)) (x - 1)$ par $1$ .

$(4 (x + 1)) (x - 1)$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$(4 x + 4 \cdot 1) (x - 1)$

Étape 3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$(4 x + 4) (x - 1)$

Étape 4

Développez $(4 x + 4) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x (x - 1) + 4 (x - 1)$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot - 1 + 4 (x - 1)$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot - 1 + 4 x + 4 \cdot - 1$

Étape 5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.1.1

Déplacez $x$ .

$4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 1 + 4 x + 4 \cdot - 1$

Étape 5.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x^{2} + 4 x \cdot - 1 + 4 x + 4 \cdot - 1$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$4 x^{2} - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 1$

Étape 5.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 x^{2} - 4 x + 4 x - 4$

Étape 5.2

Additionnez $- 4 x$ et $4 x$ .

$4 x^{2} + 0 - 4$

Étape 5.3

Additionnez $4 x^{2}$ et $0$ .

$4 x^{2} - 4$