Algèbre Exemples

$\frac{4 x^{2} - 1}{3} = x (10 x - 9)$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $3$ .

$\frac{4 x^{2} - 1}{3} \cdot 3 = x (10 x - 9) \cdot 3$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Simplifiez $\frac{4 x^{2} - 1}{3} \cdot 3$ .

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Étape 2.1.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1.1.1

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{{(2 x)}^{2} - 1}{3} \cdot 3 = x (10 x - 9) \cdot 3$

Étape 2.1.1.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{{(2 x)}^{2} - 1^{2}}{3} \cdot 3 = x (10 x - 9) \cdot 3$

Étape 2.1.1.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 x$ et $b = 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{3} \cdot 3 = x (10 x - 9) \cdot 3$

Étape 2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{3} \cdot 3 = x (10 x - 9) \cdot 3$

Étape 2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$(2 x + 1) (2 x - 1) = x (10 x - 9) \cdot 3$

Étape 2.1.1.3

Développez $(2 x + 1) (2 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1) = x (10 x - 9) \cdot 3$

Étape 2.1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1) = x (10 x - 9) \cdot 3$

Étape 2.1.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 = x (10 x - 9) \cdot 3$

Étape 2.1.1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1.1.4.1

Associez les termes opposés dans $2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1$ .

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Étape 2.1.1.4.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $2 x \cdot - 1$ et $1 (2 x)$ .

$2 x (2 x) - 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 = x (10 x - 9) \cdot 3$

Étape 2.1.1.4.1.2

Additionnez $- 1 \cdot 2 x$ et $1 \cdot 2 x$ .

$2 x (2 x) + 0 + 1 \cdot - 1 = x (10 x - 9) \cdot 3$

Étape 2.1.1.4.1.3

Additionnez $2 x (2 x)$ et $0$ .

$2 x (2 x) + 1 \cdot - 1 = x (10 x - 9) \cdot 3$

Étape 2.1.1.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.4.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot - 1 = x (10 x - 9) \cdot 3$

Étape 2.1.1.4.2.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.1.4.2.2.1

Déplacez $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x) + 1 \cdot - 1 = x (10 x - 9) \cdot 3$

Étape 2.1.1.4.2.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 \cdot 2 x^{2} + 1 \cdot - 1 = x (10 x - 9) \cdot 3$

Étape 2.1.1.4.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x^{2} + 1 \cdot - 1 = x (10 x - 9) \cdot 3$

Étape 2.1.1.4.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 x^{2} - 1 = x (10 x - 9) \cdot 3$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $x (10 x - 9) \cdot 3$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} - 1 = (x (10 x) + x \cdot - 9) \cdot 3$

Étape 2.2.1.1.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x^{2} - 1 = (10 x \cdot x + x \cdot - 9) \cdot 3$

Étape 2.2.1.1.2.2

Déplacez $- 9$ à gauche de $x$ .

$4 x^{2} - 1 = (10 x \cdot x - 9 \cdot x) \cdot 3$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$4 x^{2} - 1 = (10 (x \cdot x) - 9 \cdot x) \cdot 3$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x^{2} - 1 = (10 x^{2} - 9 \cdot x) \cdot 3$

$4 x^{2} - 1 = (10 x^{2} - 9 x) \cdot 3$

Étape 2.2.1.3

Simplifiez en multipliant.

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Étape 2.2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} - 1 = 10 x^{2} \cdot 3 - 9 x \cdot 3$

Étape 2.2.1.3.2

Multipliez.

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Étape 2.2.1.3.2.1

Multipliez $3$ par $10$ .

$4 x^{2} - 1 = 30 x^{2} - 9 x \cdot 3$

Étape 2.2.1.3.2.2

Multipliez $3$ par $- 9$ .

$4 x^{2} - 1 = 30 x^{2} - 27 x$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$30 x^{2} - 27 x = 4 x^{2} - 1$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $4 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$30 x^{2} - 27 x - 4 x^{2} = - 1$

Étape 3.2.2

Soustrayez $4 x^{2}$ de $30 x^{2}$ .

$26 x^{2} - 27 x = - 1$

Étape 3.3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$26 x^{2} - 27 x + 1 = 0$

Étape 3.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 26 \cdot 1 = 26$ et dont la somme est $b = - 27$ .

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Étape 3.4.1.1

Factorisez $- 27$ à partir de $- 27 x$ .

$26 x^{2} - 27 x + 1 = 0$

Étape 3.4.1.2

Réécrivez $- 27$ comme $- 1$ plus $- 26$

$26 x^{2} + (- 1 - 26) x + 1 = 0$

Étape 3.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$26 x^{2} - 1 x - 26 x + 1 = 0$

Étape 3.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(26 x^{2} - 1 x) - 26 x + 1 = 0$

Étape 3.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (26 x - 1) - (26 x - 1) = 0$

Étape 3.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $26 x - 1$ .

$(26 x - 1) (x - 1) = 0$

Étape 3.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$26 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 3.6

Définissez $26 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $26 x - 1$ égal à $0$ .

$26 x - 1 = 0$

Étape 3.6.2

Résolvez $26 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.6.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$26 x = 1$

Étape 3.6.2.2

Divisez chaque terme dans $26 x = 1$ par $26$ et simplifiez.

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Étape 3.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $26 x = 1$ par $26$ .

$\frac{26 x}{26} = \frac{1}{26}$

Étape 3.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $26$ .

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Étape 3.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{26 x}{26} = \frac{1}{26}$

Étape 3.6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{26}$

Étape 3.7

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.7.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 3.7.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 3.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(26 x - 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{26}, 1$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{1}{26}, 1$

Forme décimale :

$x = 0.0\overline{384615}, 1$