Algèbre Exemples

$- 4 x^{2} - 13 > 11 x - 7$

Étape 1

Soustrayez $11 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$- 4 x^{2} - 13 - 11 x > - 7$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- 4 x^{2} - 13 - 11 x = - 7$

Étape 3

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$- 4 x^{2} - 13 - 11 x + 7 = 0$

Étape 4

Additionnez $- 13$ et $7$ .

$- 4 x^{2} - 11 x - 6 = 0$

Étape 5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x^{2} - 11 x - 6$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$- (4 x^{2}) - 11 x - 6 = 0$

Étape 5.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 11 x$ .

$- (4 x^{2}) - (11 x) - 6 = 0$

Étape 5.1.3

Réécrivez $- 6$ comme $- 1 (6)$ .

$- (4 x^{2}) - (11 x) - 1 \cdot 6 = 0$

Étape 5.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x^{2}) - (11 x)$ .

$- (4 x^{2} + 11 x) - 1 \cdot 6 = 0$

Étape 5.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x^{2} + 11 x) - 1 (6)$ .

$- (4 x^{2} + 11 x + 6) = 0$

Étape 5.2

Factorisez.

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Étape 5.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 6 = 24$ et dont la somme est $b = 11$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Factorisez $11$ à partir de $11 x$ .

$- (4 x^{2} + 11 (x) + 6) = 0$

Étape 5.2.1.1.2

Réécrivez $11$ comme $3$ plus $8$

$- (4 x^{2} + (3 + 8) x + 6) = 0$

Étape 5.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (4 x^{2} + 3 x + 8 x + 6) = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- ((4 x^{2} + 3 x) + 8 x + 6) = 0$

Étape 5.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- (x (4 x + 3) + 2 (4 x + 3)) = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 x + 3$ .

$- ((4 x + 3) (x + 2)) = 0$

Étape 5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (4 x + 3) (x + 2) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 x + 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 7

Définissez $4 x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $4 x + 3$ égal à $0$ .

$4 x + 3 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $4 x + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = - 3$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = - 3$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - 3$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{4}$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{4}$

Étape 8

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (4 x + 3) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = - \frac{3}{4}, - 2$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < - \frac{3}{4}$

$x > - \frac{3}{4}$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$- 4 {(- 4)}^{2} - 13 > 11 (- 4) - 7$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $- 77$ n’est pas supérieur au côté droit $- 51$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < - \frac{3}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < - \frac{3}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 1$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $- 1$ dans l’inégalité d’origine.

$- 4 {(- 1)}^{2} - 13 > 11 (- 1) - 7$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $- 17$ est supérieur au côté droit $- 18$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - \frac{3}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - \frac{3}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$- 4 {(0)}^{2} - 13 > 11 (0) - 7$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $- 13$ n’est pas supérieur au côté droit $- 7$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < - \frac{3}{4}$ Vrai

$x > - \frac{3}{4}$ Faux

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < - \frac{3}{4}$ Vrai

$x > - \frac{3}{4}$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 2 < x < - \frac{3}{4}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 2 < x < - \frac{3}{4}$

Notation d’intervalle :

$(- 2, - \frac{3}{4})$

Étape 14