Algèbre Exemples

$5 y^{2} \cdot {(2 y^{3})}^{x} = 80 y^{14}$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $5 y^{2} \cdot {(2 y^{3})}^{x} = 80 y^{14}$ par $5 y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $5 y^{2} \cdot {(2 y^{3})}^{x} = 80 y^{14}$ par $5 y^{2}$ .

$\frac{5 y^{2} \cdot {(2 y^{3})}^{x}}{5 y^{2}} = \frac{80 y^{14}}{5 y^{2}}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 y^{2} \cdot {(2 y^{3})}^{x}}{5 y^{2}} = \frac{80 y^{14}}{5 y^{2}}$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} \cdot {(2 y^{3})}^{x}}{y^{2}} = \frac{80 y^{14}}{5 y^{2}}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} \cdot {(2 y^{3})}^{x}}{y^{2}} = \frac{80 y^{14}}{5 y^{2}}$

Étape 1.2.2.2

Divisez ${(2 y^{3})}^{x}$ par $1$ .

${(2 y^{3})}^{x} = \frac{80 y^{14}}{5 y^{2}}$

Étape 1.2.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.2.3.1

Appliquez la règle de produit à $2 y^{3}$ .

$2^{x} {(y^{3})}^{x} = \frac{80 y^{14}}{5 y^{2}}$

Étape 1.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{x} y^{3 x} = \frac{80 y^{14}}{5 y^{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun à $80$ et $5$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $5$ à partir de $80 y^{14}$ .

$2^{x} y^{3 x} = \frac{5 (16 y^{14})}{5 y^{2}}$

Étape 1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 y^{2}$ .

$2^{x} y^{3 x} = \frac{5 (16 y^{14})}{5 (y^{2})}$

Étape 1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2^{x} y^{3 x} = \frac{5 (16 y^{14})}{5 y^{2}}$

Étape 1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$2^{x} y^{3 x} = \frac{16 y^{14}}{y^{2}}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun à $y^{14}$ et $y^{2}$ .

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $16 y^{14}$ .

$2^{x} y^{3 x} = \frac{y^{2} (16 y^{12})}{y^{2}}$

Étape 1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$2^{x} y^{3 x} = \frac{y^{2} (16 y^{12})}{y^{2} \cdot 1}$

Étape 1.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$2^{x} y^{3 x} = \frac{y^{2} (16 y^{12})}{y^{2} \cdot 1}$

Étape 1.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$2^{x} y^{3 x} = \frac{16 y^{12}}{1}$

Étape 1.3.2.2.4

Divisez $16 y^{12}$ par $1$ .

$2^{x} y^{3 x} = 16 y^{12}$

Étape 2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{x} y^{3 x}) = \ln (16 y^{12})$

Étape 3

Développez le côté gauche.

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Étape 3.1

Réécrivez $\ln (2^{x} y^{3 x})$ comme $\ln (2^{x}) + \ln (y^{3 x})$ .

$\ln (2^{x}) + \ln (y^{3 x}) = \ln (16 y^{12})$

Étape 3.2

Développez $\ln (2^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (2) + \ln (y^{3 x}) = \ln (16 y^{12})$

Étape 3.3

Développez $\ln (y^{3 x})$ en déplaçant $3 x$ hors du logarithme.

$x \ln (2) + 3 x \ln (y) = \ln (16 y^{12})$

Étape 4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (2) + 3 x \ln (y) - \ln (16 y^{12}) = 0$

Étape 5

Ajoutez $\ln (16 y^{12})$ aux deux côtés de l’équation.

$x \ln (2) + 3 x \ln (y) = \ln (16 y^{12})$

Étape 6

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (2) + 3 x \ln (y)$ .

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Étape 6.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (2)$ .

$x (\ln (2)) + 3 x \ln (y) = \ln (16 y^{12})$

Étape 6.2

Factorisez $x$ à partir de $3 x \ln (y)$ .

$x (\ln (2)) + x (3 \ln (y)) = \ln (16 y^{12})$

Étape 6.3

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (2)) + x (3 \ln (y))$ .

$x (\ln (2) + 3 \ln (y)) = \ln (16 y^{12})$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $x (\ln (2) + 3 \ln (y)) = \ln (16 y^{12})$ par $\ln (2) + 3 \ln (y)$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (2) + 3 \ln (y)) = \ln (16 y^{12})$ par $\ln (2) + 3 \ln (y)$ .

$\frac{x (\ln (2) + 3 \ln (y))}{\ln (2) + 3 \ln (y)} = \frac{\ln (16 y^{12})}{\ln (2) + 3 \ln (y)}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2) + 3 \ln (y)$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (2) + 3 \ln (y))}{\ln (2) + 3 \ln (y)} = \frac{\ln (16 y^{12})}{\ln (2) + 3 \ln (y)}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (16 y^{12})}{\ln (2) + 3 \ln (y)}$