Algèbre Exemples

$3 e^{4 x} - 9 e^{2 x} - 15 = 0$

Étape 1

Réécrivez $e^{4 x}$ comme une élévation à une puissance.

$3 {(e^{x})}^{4} - 9 e^{2 x} - 15 = 0$

Étape 2

Réécrivez $e^{2 x}$ comme une élévation à une puissance.

$3 {(e^{x})}^{4} - 9 {(e^{x})}^{2} - 15 = 0$

Étape 3

Remplacez $e^{x}$ par $u$ .

$3 u^{4} - 9 u^{2} - 15 = 0$

Étape 4

Résolvez $u$ .

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Étape 4.1

Remplacez $u = u^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$3 u^{2} - 9 u - 15 = 0$

$u = u^{2}$

Étape 4.2

Factorisez $3$ à partir de $3 u^{2} - 9 u - 15$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 u^{2}$ .

$3 (u^{2}) - 9 u - 15 = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9 u$ .

$3 (u^{2}) + 3 (- 3 u) - 15 = 0$

Étape 4.2.3

Factorisez $3$ à partir de $- 15$ .

$3 u^{2} + 3 (- 3 u) + 3 \cdot - 5 = 0$

Étape 4.2.4

Factorisez $3$ à partir de $3 u^{2} + 3 (- 3 u)$ .

$3 (u^{2} - 3 u) + 3 \cdot - 5 = 0$

Étape 4.2.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (u^{2} - 3 u) + 3 \cdot - 5$ .

$3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$

Étape 4.3

Divisez chaque terme dans $3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.3.1

Divisez chaque terme dans $3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$ par $3$ .

$\frac{3 (u^{2} - 3 u - 5)}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (u^{2} - 3 u - 5)}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 4.3.2.1.2

Divisez $u^{2} - 3 u - 5$ par $1$ .

$u^{2} - 3 u - 5 = \frac{0}{3}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$u^{2} - 3 u - 5 = 0$

Étape 4.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 3$ et $c = - 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6

Simplifiez

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Étape 4.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Étape 4.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 5$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.3

Additionnez $9$ et $20$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}$

Étape 4.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}, \frac{3 - \sqrt{29}}{2}$

Étape 4.8

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = u^{2}$ dans l’équation résolue.

$u^{2} = 4.1925824$

${(u^{2})}^{1} = - 1.1925824$

Étape 4.9

Résolvez la première équation pour $u$ .

$u^{2} = 4.1925824$

Étape 4.10

Résolvez l’équation pour $u$ .

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Étape 4.10.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$u = \pm \sqrt{4.1925824}$

Étape 4.10.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.10.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$u = \sqrt{4.1925824}$

Étape 4.10.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$u = - \sqrt{4.1925824}$

Étape 4.10.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$u = \sqrt{4.1925824}, - \sqrt{4.1925824}$

Étape 4.11

Résolvez la deuxième équation pour $u$ .

${(u^{2})}^{1} = - 1.1925824$

Étape 4.12

Résolvez l’équation pour $u$ .

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Étape 4.12.1

Supprimez les parenthèses.

$u^{2} = - 1.1925824$

Étape 4.12.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$u = \pm \sqrt{- 1.1925824}$

Étape 4.12.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 1.1925824}$ .

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Étape 4.12.3.1

Réécrivez $- 1.1925824$ comme $- 1 (1.1925824)$ .

$u = \pm \sqrt{- 1 (1.1925824)}$

Étape 4.12.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (1.1925824)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.1925824}$ .

$u = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.1925824}$

Étape 4.12.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \pm i \sqrt{1.1925824}$

Étape 4.12.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.12.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$u = i \sqrt{1.1925824}$

Étape 4.12.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$u = - i \sqrt{1.1925824}$

Étape 4.12.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$u = i \sqrt{1.1925824}, - i \sqrt{1.1925824}$

Étape 4.13

La solution à $3 u^{4} - 9 u^{2} - 15 = 0$ est $u = \sqrt{4.1925824}, - \sqrt{4.1925824}, i \sqrt{1.1925824}, - i \sqrt{1.1925824}$ .

$u = \sqrt{4.1925824}, - \sqrt{4.1925824}, i \sqrt{1.1925824}, - i \sqrt{1.1925824}$

Étape 5

Remplacez $u$ par $\sqrt{4.1925824}$ dans $u = e^{x}$ .

$\sqrt{4.1925824} = e^{x}$

Étape 6

Résolvez $\sqrt{4.1925824} = e^{x}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = \sqrt{4.1925824}$ .

$e^{x} = \sqrt{4.1925824}$

Étape 6.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (\sqrt{4.1925824})$

Étape 6.3

Développez le côté gauche.

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Étape 6.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (\sqrt{4.1925824})$

Étape 6.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\sqrt{4.1925824})$

Étape 6.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (\sqrt{4.1925824})$

Étape 7

Remplacez $u$ par $- \sqrt{4.1925824}$ dans $u = e^{x}$ .

$- \sqrt{4.1925824} = e^{x}$

Étape 8

Résolvez $- \sqrt{4.1925824} = e^{x}$ .

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Étape 8.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = - \sqrt{4.1925824}$ .

$e^{x} = - \sqrt{4.1925824}$

Étape 8.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \sqrt{4.1925824})$

Étape 8.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- \sqrt{4.1925824})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 8.4

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = - \sqrt{4.1925824}$

Aucune solution

Étape 9

Remplacez $u$ par $i \sqrt{1.1925824}$ dans $u = e^{x}$ .

$i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$

Étape 10

Résolvez $i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$ .

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Étape 10.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = i \sqrt{1.1925824}$ .

$e^{x} = i \sqrt{1.1925824}$

Étape 10.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

Étape 10.3

Développez le côté gauche.

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Étape 10.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

Étape 10.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

Étape 10.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

Étape 10.4

Développez le côté droit.

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Étape 10.4.1

Réécrivez $\ln (i \sqrt{1.1925824})$ comme $\ln (i) + \ln (\sqrt{1.1925824})$ .

$x = \ln (i) + \ln (\sqrt{1.1925824})$

Étape 10.4.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1.1925824}$ comme ${1.1925824}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (i) + \ln ({1.1925824}^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.4.3

Développez $\ln ({1.1925824}^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ hors du logarithme.

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (1.1925824)$

Étape 10.4.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (1.1925824)$ .

$x = \ln (i) + \frac{\ln (1.1925824)}{2}$

Étape 10.5

Simplifiez

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Étape 10.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.5.1.1

Réécrivez $\frac{\ln (1.1925824)}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln (1.1925824)$ .

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (1.1925824)$

Étape 10.5.1.2

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (1.1925824)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$x = \ln (i) + \ln ({1.1925824}^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.5.1.3

Réécrivez $1.1925824$ comme ${1.09205421}^{2}$ .

$x = \ln (i) + \ln ({({1.09205421}^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.5.1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \ln (i) + \ln ({1.09205421}^{2 (\frac{1}{2})})$

Étape 10.5.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.5.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$x = \ln (i) + \ln ({1.09205421}^{2 (\frac{1}{2})})$

Étape 10.5.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$x = \ln (i) + \ln ({1.09205421}^{1})$

Étape 10.5.1.6

Évaluez l’exposant.

$x = \ln (i) + \ln (1.09205421)$

Étape 10.5.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x = \ln (i \cdot 1.09205421)$

Étape 10.5.3

Déplacez $1.09205421$ à gauche de $i$ .

$x = \ln (1.09205421 i)$

Étape 11

Remplacez $u$ par $- i \sqrt{1.1925824}$ dans $u = e^{x}$ .

$- i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$

Étape 12

Résolvez $- i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$ .

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Étape 12.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = - i \sqrt{1.1925824}$ .

$e^{x} = - i \sqrt{1.1925824}$

Étape 12.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (- i \sqrt{1.1925824})$

Étape 12.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- i \sqrt{1.1925824})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 12.4

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = - i \sqrt{1.1925824}$

Aucune solution

Étape 13

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \ln (\sqrt{4.1925824}), \ln (1.09205421 i)$