Algèbre Exemples

3 e^{4 x} - 9 e^{2 x} - 15 = 0

$3 e^{4 x} - 9 e^{2 x} - 15 = 0$

Étape 1

Réécrivez

e^{4 x}

$e^{4 x}$ comme une élévation à une puissance.

3 {(e^{x})}^{4} - 9 e^{2 x} - 15 = 0

$3 {(e^{x})}^{4} - 9 e^{2 x} - 15 = 0$

Étape 2

Réécrivez

e^{2 x}

$e^{2 x}$ comme une élévation à une puissance.

3 {(e^{x})}^{4} - 9 {(e^{x})}^{2} - 15 = 0

$3 {(e^{x})}^{4} - 9 {(e^{x})}^{2} - 15 = 0$

Étape 3

Remplacez

e^{x}

$e^{x}$ par

u

$u$ .

3 u^{4} - 9 u^{2} - 15 = 0

$3 u^{4} - 9 u^{2} - 15 = 0$

Étape 4

Résolvez

u

$u$ .

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Étape 4.1

Remplacez

u = u^{2}

$u = u^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

3 u^{2} - 9 u - 15 = 0

$3 u^{2} - 9 u - 15 = 0$

u = u^{2}

$u = u^{2}$

Étape 4.2

Factorisez

3

$3$ à partir de

3 u^{2} - 9 u - 15

$3 u^{2} - 9 u - 15$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez

3

$3$ à partir de

3 u^{2}

$3 u^{2}$ .

3 (u^{2}) - 9 u - 15 = 0

$3 (u^{2}) - 9 u - 15 = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez

3

$3$ à partir de

- 9 u

$- 9 u$ .

3 (u^{2}) + 3 (- 3 u) - 15 = 0

$3 (u^{2}) + 3 (- 3 u) - 15 = 0$

Étape 4.2.3

Factorisez

3

$3$ à partir de

- 15

$- 15$ .

3 u^{2} + 3 (- 3 u) + 3 \cdot - 5 = 0

$3 u^{2} + 3 (- 3 u) + 3 \cdot - 5 = 0$

Étape 4.2.4

Factorisez

3

$3$ à partir de

3 u^{2} + 3 (- 3 u)

$3 u^{2} + 3 (- 3 u)$ .

3 (u^{2} - 3 u) + 3 \cdot - 5 = 0

$3 (u^{2} - 3 u) + 3 \cdot - 5 = 0$

Étape 4.2.5

Factorisez

3

$3$ à partir de

3 (u^{2} - 3 u) + 3 \cdot - 5

$3 (u^{2} - 3 u) + 3 \cdot - 5$ .

3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0

$3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$

3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0

$3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$

Étape 4.3

Divisez chaque terme dans

3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0

$3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$ par

3

$3$ et simplifiez.

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Étape 4.3.1

Divisez chaque terme dans

3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0

$3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$ par

3

$3$ .

\frac{3 (u^{2} - 3 u - 5)}{3} = \frac{0}{3}

$\frac{3 (u^{2} - 3 u - 5)}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun de

3

$3$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (u^{2} - 3 u - 5)}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 4.3.2.1.2

Divisez

$u^{2} - 3 u - 5$ par

$1$ .

$u^{2} - 3 u - 5 = \frac{0}{3}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1

Divisez

$0$ par

$3$ .

$u^{2} - 3 u - 5 = 0$

Étape 4.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.5

Remplacez les valeurs

$a = 1$ ,

$b = - 3$ et

$c = - 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour

$u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6

Simplifiez

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Étape 4.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1.1

Élevez

$- 3$ à la puissance

$2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.2

Multipliez

$- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Étape 4.6.1.2.1

Multipliez

$- 4$ par

$1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.2.2

Multipliez

$- 4$ par

$- 5$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.3

Additionnez

$9$ et

$20$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2

Multipliez

$2$ par

$1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}$

Étape 4.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}, \frac{3 - \sqrt{29}}{2}$

Étape 4.8

Remplacez à nouveau la valeur réelle de

$u = u^{2}$ dans l’équation résolue.

$u^{2} = 4.1925824$

${(u^{2})}^{1} = - 1.1925824$

Étape 4.9

Résolvez la première équation pour

$u$ .

$u^{2} = 4.1925824$

Étape 4.10

Résolvez l’équation pour

$u$ .

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Étape 4.10.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$u = \pm \sqrt{4.1925824}$

Étape 4.10.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.10.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du

$\pm$ pour déterminer la première solution.

$u = \sqrt{4.1925824}$

Étape 4.10.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du

$\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$u = - \sqrt{4.1925824}$

Étape 4.10.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$u = \sqrt{4.1925824}, - \sqrt{4.1925824}$

Étape 4.11

Résolvez la deuxième équation pour

$u$ .

${(u^{2})}^{1} = - 1.1925824$

Étape 4.12

Résolvez l’équation pour

$u$ .

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Étape 4.12.1

Supprimez les parenthèses.

$u^{2} = - 1.1925824$

Étape 4.12.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$u = \pm \sqrt{- 1.1925824}$

Étape 4.12.3

Simplifiez

$\pm \sqrt{- 1.1925824}$ .

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Étape 4.12.3.1

Réécrivez

$- 1.1925824$ comme

$- 1 (1.1925824)$ .

$u = \pm \sqrt{- 1 (1.1925824)}$

Étape 4.12.3.2

Réécrivez

$\sqrt{- 1 (1.1925824)}$ comme

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.1925824}$ .

$u = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.1925824}$

Étape 4.12.3.3

Réécrivez

$\sqrt{- 1}$ comme

$i$ .

$u = \pm i \sqrt{1.1925824}$

Étape 4.12.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.12.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du

$\pm$ pour déterminer la première solution.

$u = i \sqrt{1.1925824}$

Étape 4.12.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du

$\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$u = - i \sqrt{1.1925824}$

Étape 4.12.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$u = i \sqrt{1.1925824}, - i \sqrt{1.1925824}$

Étape 4.13

La solution à

$3 u^{4} - 9 u^{2} - 15 = 0$ est

$u = \sqrt{4.1925824}, - \sqrt{4.1925824}, i \sqrt{1.1925824}, - i \sqrt{1.1925824}$ .

$u = \sqrt{4.1925824}, - \sqrt{4.1925824}, i \sqrt{1.1925824}, - i \sqrt{1.1925824}$

Étape 5

Remplacez

$u$ par

$\sqrt{4.1925824}$ dans

$u = e^{x}$ .

$\sqrt{4.1925824} = e^{x}$

Étape 6

Résolvez

$\sqrt{4.1925824} = e^{x}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme

$e^{x} = \sqrt{4.1925824}$ .

$e^{x} = \sqrt{4.1925824}$

Étape 6.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (\sqrt{4.1925824})$

Étape 6.3

Développez le côté gauche.

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Étape 6.3.1

Développez

$\ln (e^{x})$ en déplaçant

$x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (\sqrt{4.1925824})$

Étape 6.3.2

Le logarithme naturel de

$e$ est

$1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\sqrt{4.1925824})$

Étape 6.3.3

Multipliez

$x$ par

$1$ .

$x = \ln (\sqrt{4.1925824})$

Étape 7

Remplacez

$u$ par

$- \sqrt{4.1925824}$ dans

$u = e^{x}$ .

$- \sqrt{4.1925824} = e^{x}$

Étape 8

Résolvez

$- \sqrt{4.1925824} = e^{x}$ .

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Étape 8.1

Réécrivez l’équation comme

$e^{x} = - \sqrt{4.1925824}$ .

$e^{x} = - \sqrt{4.1925824}$

Étape 8.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \sqrt{4.1925824})$

Étape 8.3

L’équation ne peut pas être résolue car

$\ln (- \sqrt{4.1925824})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 8.4

Il n’y a pas de solution pour

$e^{x} = - \sqrt{4.1925824}$

Aucune solution

Étape 9

Remplacez

$u$ par

$i \sqrt{1.1925824}$ dans

$u = e^{x}$ .

$i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$

Étape 10

Résolvez

$i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$ .

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Étape 10.1

Réécrivez l’équation comme

$e^{x} = i \sqrt{1.1925824}$ .

$e^{x} = i \sqrt{1.1925824}$

Étape 10.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

Étape 10.3

Développez le côté gauche.

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Étape 10.3.1

Développez

$\ln (e^{x})$ en déplaçant

$x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

Étape 10.3.2

Le logarithme naturel de

$e$ est

$1$ .

$x \cdot 1 = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

Étape 10.3.3

Multipliez

$x$ par

$1$ .

$x = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

Étape 10.4

Développez le côté droit.

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Étape 10.4.1

Réécrivez

$\ln (i \sqrt{1.1925824})$ comme

$\ln (i) + \ln (\sqrt{1.1925824})$ .

$x = \ln (i) + \ln (\sqrt{1.1925824})$

Étape 10.4.2

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{1.1925824}$ comme

${1.1925824}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (i) + \ln ({1.1925824}^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.4.3

Développez

$\ln ({1.1925824}^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant

$\frac{1}{2}$ hors du logarithme.

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (1.1925824)$

Étape 10.4.4

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$\ln (1.1925824)$ .

$x = \ln (i) + \frac{\ln (1.1925824)}{2}$

Étape 10.5

Simplifiez

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Étape 10.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.5.1.1

Réécrivez

$\frac{\ln (1.1925824)}{2}$ comme

$\frac{1}{2} \ln (1.1925824)$ .

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (1.1925824)$

Étape 10.5.1.2

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (1.1925824)$ en déplaçant

$\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$x = \ln (i) + \ln ({1.1925824}^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.5.1.3

Réécrivez

$1.1925824$ comme

${1.09205421}^{2}$ .

$x = \ln (i) + \ln ({({1.09205421}^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.5.1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \ln (i) + \ln ({1.09205421}^{2 (\frac{1}{2})})$

Étape 10.5.1.5

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 10.5.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$x = \ln (i) + \ln ({1.09205421}^{2 (\frac{1}{2})})$

Étape 10.5.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$x = \ln (i) + \ln ({1.09205421}^{1})$

Étape 10.5.1.6

Évaluez l’exposant.

$x = \ln (i) + \ln (1.09205421)$

Étape 10.5.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes,

$\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x = \ln (i \cdot 1.09205421)$

Étape 10.5.3

Déplacez

$1.09205421$ à gauche de

$i$ .

$x = \ln (1.09205421 i)$

Étape 11

Remplacez

$u$ par

$- i \sqrt{1.1925824}$ dans

$u = e^{x}$ .

$- i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$

Étape 12

Résolvez

$- i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$ .

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Étape 12.1

Réécrivez l’équation comme

$e^{x} = - i \sqrt{1.1925824}$ .

$e^{x} = - i \sqrt{1.1925824}$

Étape 12.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (- i \sqrt{1.1925824})$

Étape 12.3

L’équation ne peut pas être résolue car

$\ln (- i \sqrt{1.1925824})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 12.4

Il n’y a pas de solution pour

$e^{x} = - i \sqrt{1.1925824}$

Aucune solution

Étape 13

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \ln (\sqrt{4.1925824}), \ln (1.09205421 i)$