Algèbre Exemples

$\sqrt{c + 9} - \sqrt{c} > \sqrt{3}$

Étape 1

Ajoutez $\sqrt{c}$ aux deux côtés de l’inégalité.

$\sqrt{c + 9} > \sqrt{3} + \sqrt{c}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{c + 9}}^{2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{c + 9}$ comme ${(c + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(c + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(c + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(c + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(c + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(c + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(c + 9)}^{1} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$c + 9 > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$ comme $(\sqrt{3} + \sqrt{c}) (\sqrt{3} + \sqrt{c})$ .

$c + 9 > (\sqrt{3} + \sqrt{c}) (\sqrt{3} + \sqrt{c})$

Étape 3.3.1.2

Développez $(\sqrt{3} + \sqrt{c}) (\sqrt{3} + \sqrt{c})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$c + 9 > \sqrt{3} (\sqrt{3} + \sqrt{c}) + \sqrt{c} (\sqrt{3} + \sqrt{c})$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$c + 9 > \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} (\sqrt{3} + \sqrt{c})$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$c + 9 > \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$c + 9 > \sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Étape 3.3.1.3.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$c + 9 > \sqrt{9} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Étape 3.3.1.3.1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$c + 9 > \sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Étape 3.3.1.3.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Étape 3.3.1.3.1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Étape 3.3.1.3.1.6

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Étape 3.3.1.3.1.7

Multipliez $\sqrt{c} \sqrt{c}$ .

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Étape 3.3.1.3.1.7.1

Élevez $\sqrt{c}$ à la puissance $1$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{1} \sqrt{c}$

Étape 3.3.1.3.1.7.2

Élevez $\sqrt{c}$ à la puissance $1$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{1} {\sqrt{c}}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{1 + 1}$

Étape 3.3.1.3.1.7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.8

Réécrivez ${\sqrt{c}}^{2}$ comme $c$ .

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Étape 3.3.1.3.1.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{c}$ comme $c^{\frac{1}{2}}$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {(c^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.3.1.3.1.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.8.5

Simplifiez

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c$

Étape 3.3.1.3.2

Additionnez $\sqrt{3 c}$ et $\sqrt{c \cdot 3}$ .

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Étape 3.3.1.3.2.1

Remettez dans l’ordre $c$ et $3$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{3 \cdot c} + c$

Étape 3.3.1.3.2.2

Additionnez $\sqrt{3 c}$ et $\sqrt{3 \cdot c}$ .

$c + 9 > 3 + 2 \sqrt{3 c} + c$

Étape 4

Résolvez $2 \sqrt{3 c}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez de sorte que $2 \sqrt{3 c}$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$3 + 2 \sqrt{3 c} + c < c + 9$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $2 \sqrt{3 c}$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’inégalité.

$2 \sqrt{3 c} + c < c + 9 - 3$

Étape 4.2.2

Soustrayez $c$ des deux côtés de l’inégalité.

$2 \sqrt{3 c} < c + 9 - 3 - c$

Étape 4.2.3

Associez les termes opposés dans $c + 9 - 3 - c$ .

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Étape 4.2.3.1

Soustrayez $c$ de $c$ .

$2 \sqrt{3 c} < 0 + 9 - 3$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $0$ et $9$ .

$2 \sqrt{3 c} < 9 - 3$

Étape 4.2.4

Soustrayez $3$ de $9$ .

$2 \sqrt{3 c} < 6$

Étape 5

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${(2 \sqrt{3 c})}^{2} < 6^{2}$

Étape 6

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 c}$ comme ${(3 c)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(3 c)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Simplifiez ${(2 {(3 c)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 c$ .

${(2 (3^{\frac{1}{2}} c^{\frac{1}{2}}))}^{2} < 6^{2}$

Étape 6.2.1.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.2.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} c^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Étape 6.2.1.2.2

Appliquez la règle de produit à $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} \cdot {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Étape 6.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 \cdot {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Étape 6.2.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Étape 6.2.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 \cdot 3^{1} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Étape 6.2.1.5

Évaluez l’exposant.

$4 \cdot 3 {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Étape 6.2.1.7

Multipliez les exposants dans ${(c^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 c^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 6^{2}$

Étape 6.2.1.7.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.7.2.1

Annulez le facteur commun.

$12 c^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 6^{2}$

Étape 6.2.1.7.2.2

Réécrivez l’expression.

$12 c^{1} < 6^{2}$

Étape 6.2.1.8

Simplifiez

$12 c < 6^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$12 c < 36$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $12 c < 36$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $12 c < 36$ par $12$ .

$\frac{12 c}{12} < \frac{36}{12}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 c}{12} < \frac{36}{12}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $c$ par $1$ .

$c < \frac{36}{12}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Divisez $36$ par $12$ .

$c < 3$

Étape 8

Déterminez le domaine de $\sqrt{c + 9} - \sqrt{c} - \sqrt{3}$ .

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Étape 8.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{c + 9}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$c + 9 \geq 0$

Étape 8.2

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’inégalité.

$c \geq - 9$

Étape 8.3

Définissez le radicande dans $\sqrt{c}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$c \geq 0$

Étape 8.4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $c$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \infty)$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$c < 0$

$0 < c < 3$

$c > 3$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $c < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $c < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$c = - 2$

Étape 10.1.2

Remplacez $c$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{(- 2) + 9} - \sqrt{- 2} > \sqrt{3}$

Étape 10.1.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < c < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < c < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$c = 2$

Étape 10.2.2

Remplacez $c$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{(2) + 9} - \sqrt{2} > \sqrt{3}$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $1.90241122$ est supérieur au côté droit $1.7320508$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $c > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $c > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$c = 6$

Étape 10.3.2

Remplacez $c$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{(6) + 9} - \sqrt{6} > \sqrt{3}$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $1.4234936$ n’est pas supérieur au côté droit $1.7320508$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$c < 0$ Faux

$0 < c < 3$ Vrai

$c > 3$ Faux

$c < 0$ Faux

$0 < c < 3$ Vrai

$c > 3$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < c < 3$

Étape 12