Algèbre Exemples

$108 x^{3} + 37 = 5$

Étape 1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$108 x^{3} + 37 - 5 = 0$

Étape 2

Soustrayez $5$ de $37$ .

$108 x^{3} + 32 = 0$

Étape 3

Factorisez $4$ à partir de $108 x^{3} + 32$ .

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Étape 3.1

Factorisez $4$ à partir de $108 x^{3}$ .

$4 (27 x^{3}) + 32 = 0$

Étape 3.2

Factorisez $4$ à partir de $32$ .

$4 (27 x^{3}) + 4 (8) = 0$

Étape 3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (27 x^{3}) + 4 (8)$ .

$4 (27 x^{3} + 8) = 0$

Étape 4

Réécrivez $27 x^{3}$ comme ${(3 x)}^{3}$ .

$4 ({(3 x)}^{3} + 8) = 0$

Étape 5

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$4 ({(3 x)}^{3} + 2^{3}) = 0$

Étape 6

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = 3 x$ et $b = 2$ .

$4 ((3 x + 2) ({(3 x)}^{2} - 3 x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Étape 7

Factorisez.

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$4 ((3 x + 2) (3^{2} x^{2} - 3 x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Étape 7.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$4 ((3 x + 2) (9 x^{2} - 3 x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Étape 7.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$4 ((3 x + 2) (9 x^{2} - 3 x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Étape 7.1.4

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$4 ((3 x + 2) (9 x^{2} - 6 x + 2^{2})) = 0$

Étape 7.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 ((3 x + 2) (9 x^{2} - 6 x + 4)) = 0$

Étape 7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 (3 x + 2) (9 x^{2} - 6 x + 4) = 0$

Étape 8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$9 x^{2} - 6 x + 4 = 0$

Étape 9

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Étape 9.2

Résolvez $3 x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 9.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 2$

Étape 9.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 9.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 9.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 9.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Étape 9.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 10

Définissez $9 x^{2} - 6 x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $9 x^{2} - 6 x + 4$ égal à $0$ .

$9 x^{2} - 6 x + 4 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $9 x^{2} - 6 x + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 10.2.2

Remplacez les valeurs $a = 9$ , $b = - 6$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 4)}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.3

Simplifiez

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Étape 10.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.3.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 9 \cdot 4}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 9 \cdot 4$ .

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Étape 10.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36 \cdot 4}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.3.1.2.2

Multipliez $- 36$ par $4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.3.1.3

Soustrayez $144$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.3.1.4

Réécrivez $- 108$ comme $- 1 (108)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (108)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.3.1.7

Réécrivez $108$ comme $6^{2} \cdot 3$ .

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Étape 10.2.3.1.7.1

Factorisez $36$ à partir de $108$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.3.1.7.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.3.1.9

Déplacez $6$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.3.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{18}$

Étape 10.2.3.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{3}$

Étape 10.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 10.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.4.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 9 \cdot 4}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 9 \cdot 4$ .

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Étape 10.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36 \cdot 4}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.4.1.2.2

Multipliez $- 36$ par $4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.4.1.3

Soustrayez $144$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.4.1.4

Réécrivez $- 108$ comme $- 1 (108)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (108)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.4.1.7

Réécrivez $108$ comme $6^{2} \cdot 3$ .

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Étape 10.2.4.1.7.1

Factorisez $36$ à partir de $108$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.4.1.7.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.4.1.9

Déplacez $6$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.4.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{18}$

Étape 10.2.4.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{3}$

Étape 10.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{3}$

Étape 10.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 10.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.5.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 9 \cdot 4}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 9 \cdot 4$ .

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Étape 10.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36 \cdot 4}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.5.1.2.2

Multipliez $- 36$ par $4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.5.1.3

Soustrayez $144$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.5.1.4

Réécrivez $- 108$ comme $- 1 (108)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (108)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.5.1.7

Réécrivez $108$ comme $6^{2} \cdot 3$ .

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Étape 10.2.5.1.7.1

Factorisez $36$ à partir de $108$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.5.1.7.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.5.1.9

Déplacez $6$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Étape 10.2.5.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{18}$

Étape 10.2.5.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{3}$

Étape 10.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{3}$

Étape 10.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{3}$

Étape 11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 (3 x + 2) (9 x^{2} - 6 x + 4) = 0$ vraie.

$x = - \frac{2}{3}, \frac{1 + i \sqrt{3}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{3}$