Algèbre Exemples

$y = {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = {(\frac{1}{2})}^{y - 1} + 2$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme ${(\frac{1}{2})}^{y - 1} + 2 = x$ .

${(\frac{1}{2})}^{y - 1} + 2 = x$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1^{y - 1}}{2^{y - 1}} + 2 = x$

Étape 2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2^{y - 1}} + 2 = x$

Étape 2.3

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{2^{y - 1}} = x - 2$

Étape 2.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2^{y - 1}$ .

$1 = 2^{y - 1} (x - 2)$

Étape 2.5

Réécrivez l’équation comme $2^{y - 1} (x - 2) = 1$ .

$2^{y - 1} (x - 2) = 1$

Étape 2.6

Divisez chaque terme dans $2^{y - 1} (x - 2) = 1$ par $x - 2$ et simplifiez.

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Étape 2.6.1

Divisez chaque terme dans $2^{y - 1} (x - 2) = 1$ par $x - 2$ .

$\frac{2^{y - 1} (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 2.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2^{y - 1} (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2}$

Étape 2.6.2.1.2

Divisez $2^{y - 1}$ par $1$ .

$2^{y - 1} = \frac{1}{x - 2}$

Étape 2.7

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{y - 1}) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

Étape 2.8

Développez $\ln (2^{y - 1})$ en déplaçant $y - 1$ hors du logarithme.

$(y - 1) \ln (2) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

Étape 2.9

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.9.1

Simplifiez $(y - 1) \ln (2)$ .

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Étape 2.9.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y \ln (2) - 1 \ln (2) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

Étape 2.9.1.2

Réécrivez $- 1 \ln (2)$ comme $- \ln (2)$ .

$y \ln (2) - \ln (2) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

Étape 2.10

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$y \ln (2) - \ln (2) - \ln (\frac{1}{x - 2}) = 0$

Étape 2.11

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.11.1

Ajoutez $\ln (2)$ aux deux côtés de l’équation.

$y \ln (2) - \ln (\frac{1}{x - 2}) = \ln (2)$

Étape 2.11.2

Ajoutez $\ln (\frac{1}{x - 2})$ aux deux côtés de l’équation.

$y \ln (2) = \ln (2) + \ln (\frac{1}{x - 2})$

Étape 2.12

Divisez chaque terme dans $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (\frac{1}{x - 2})$ par $\ln (2)$ et simplifiez.

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Étape 2.12.1

Divisez chaque terme dans $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (\frac{1}{x - 2})$ par $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Étape 2.12.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.12.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 2.12.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Étape 2.12.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Étape 2.12.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.12.3.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 2.12.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Étape 2.12.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$ est l’inverse de $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) - 2})}{\ln (2)}$

Étape 4.2.3

Associez les termes opposés dans $1 + \frac{\ln (\frac{1}{({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) - 2})}{\ln (2)}$ .

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Étape 4.2.3.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 0})}{\ln (2)}$

Étape 4.2.3.2

Additionnez ${(\frac{1}{2})}^{x - 1}$ et $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{x - 1}})}{\ln (2)}$

Étape 4.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.4.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{\frac{1^{x - 1}}{2^{x - 1}}})}{\ln (2)}$

Étape 4.2.4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{\frac{1}{2^{x - 1}}})}{\ln (2)}$

Étape 4.2.4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.4.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (1 \cdot 2^{x - 1})}{\ln (2)}$

Étape 4.2.4.2.2

Multipliez $2^{x - 1}$ par $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (2^{x - 1})}{\ln (2)}$

Étape 4.2.4.3

Développez $\ln (2^{x - 1})$ en déplaçant $x - 1$ hors du logarithme.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

Étape 4.2.4.4

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 4.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

Étape 4.2.4.4.2

Divisez $x - 1$ par $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + x - 1$

Étape 4.2.5

Associez les termes opposés dans $1 + x - 1$ .

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Étape 4.2.5.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = x + 0$

Étape 4.2.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{(1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) - 1} + 2$

Étape 4.3.3

Associez les termes opposés dans ${(\frac{1}{2})}^{(1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) - 1} + 2$ .

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Étape 4.3.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{0 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}} + 2$

Étape 4.3.3.2

Additionnez $0$ et $\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}} + 2$

Étape 4.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}}}{2^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}}} + 2$

Étape 4.3.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}}} + 2$

Étape 4.3.4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.4.3.1

Utilisez la règle du changement de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{\log_{2} (\frac{1}{x - 2})}} + 2$

Étape 4.3.4.3.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1}{\frac{1}{x - 2}} + 2$

Étape 4.3.4.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = 1 (x - 2) + 2$

Étape 4.3.4.5

Multipliez $x - 2$ par $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = x - 2 + 2$

Étape 4.3.5

Associez les termes opposés dans $x - 2 + 2$ .

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Étape 4.3.5.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = x + 0$

Étape 4.3.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$ est l’inverse de $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$