Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{2 x^{2} - 11 x + 5} \div \frac{x^{2} - 5 x + 6}{2 x^{2} - 7 x + 3}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{2 x^{2} - 11 x + 5} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} - 5 x + 6}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} - 3 x - 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 10$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 5, 2$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{2 x^{2} - 11 x + 5} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} - 5 x + 6}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 5 = 10$ et dont la somme est $b = - 11$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 11$ à partir de $- 11 x$ .

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{2 x^{2} - 11 (x) + 5} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} - 5 x + 6}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 11$ comme $- 1$ plus $- 10$

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{2 x^{2} + (- 1 - 10) x + 5} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} - 5 x + 6}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{2 x^{2} - 1 x - 10 x + 5} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} - 5 x + 6}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{(2 x^{2} - 1 x) - 10 x + 5} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} - 5 x + 6}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{x (2 x - 1) - 5 (2 x - 1)} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} - 5 x + 6}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{(2 x - 1) (x - 5)} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} - 5 x + 6}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $x - 5$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{(2 x - 1) (x - 5)} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} - 5 x + 6}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 2}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} - 5 x + 6}$

Étape 5

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ et dont la somme est $b = - 7$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $- 7$ à partir de $- 7 x$ .

$\frac{x + 2}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 (x) + 3}{x^{2} - 5 x + 6}$

Étape 5.1.2

Réécrivez $- 7$ comme $- 1$ plus $- 6$

$\frac{x + 2}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x^{2} + (- 1 - 6) x + 3}{x^{2} - 5 x + 6}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 2}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x^{2} - 1 x - 6 x + 3}{x^{2} - 5 x + 6}$

Étape 5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{x + 2}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x^{2} - 1 x) - 6 x + 3}{x^{2} - 5 x + 6}$

Étape 5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x + 2}{2 x - 1} \cdot \frac{x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)}{x^{2} - 5 x + 6}$

Étape 5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$\frac{x + 2}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{x^{2} - 5 x + 6}$

Étape 6

Factorisez $x^{2} - 5 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 3, - 2$

Étape 6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x + 2}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{(x - 3) (x - 2)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $2 x - 1$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 2}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{(x - 3) (x - 2)}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$(x + 2) \frac{x - 3}{(x - 3) (x - 2)}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun.

$(x + 2) \frac{x - 3}{(x - 3) (x - 2)}$

Étape 8.2

Réécrivez l’expression.

$(x + 2) \frac{1}{x - 2}$

Étape 9

Multipliez $x + 2$ par $\frac{1}{x - 2}$ .

$\frac{x + 2}{x - 2}$