Algèbre Exemples

$\frac{1}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{1}{t \sqrt{1 + t}}$ par $\frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}}$ .

$\frac{1}{t \sqrt{1 + t}} \cdot \frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$

Étape 1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Multipliez $\frac{1}{t \sqrt{1 + t}}$ par $\frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t \sqrt{1 + t} \sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$

Étape 1.2.2

Déplacez $\sqrt{1 + t}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (\sqrt{1 + t} \sqrt{1 + t})} - \frac{1}{t}$

Étape 1.2.3

Élevez $\sqrt{1 + t}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t ({\sqrt{1 + t}}^{1} \sqrt{1 + t})} - \frac{1}{t}$

Étape 1.2.4

Élevez $\sqrt{1 + t}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t ({\sqrt{1 + t}}^{1} {\sqrt{1 + t}}^{1})} - \frac{1}{t}$

Étape 1.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {\sqrt{1 + t}}^{1 + 1}} - \frac{1}{t}$

Étape 1.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {\sqrt{1 + t}}^{2}} - \frac{1}{t}$

Étape 1.2.7

Réécrivez ${\sqrt{1 + t}}^{2}$ comme $1 + t$ .

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Étape 1.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + t}$ comme ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {({(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{1}{t}$

Étape 1.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{1}{t}$

Étape 1.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{t}$

Étape 1.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{t}$

Étape 1.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{1}} - \frac{1}{t}$

Étape 1.2.7.5

Simplifiez

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (1 + t)} - \frac{1}{t}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{1}{t}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + t}{1 + t}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (1 + t)} - \frac{1}{t} \cdot \frac{1 + t}{1 + t}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{t}$ par $\frac{1 + t}{1 + t}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (1 + t)} - \frac{1 + t}{t (1 + t)}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{1 + t} - (1 + t)}{t (1 + t)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + t}$ comme ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + t)}^{\frac{1}{2}} - (1 + t)}{t (1 + t)}$

Étape 4.2

Réécrivez $1 + t$ comme ${({(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{{(1 + t)}^{\frac{1}{2}} - {({(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{t (1 + t)}$

Étape 4.3

Laissez $u = {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ par $u$ .

$\frac{u - u^{2}}{t (1 + t)}$

Étape 4.4

Factorisez $u$ à partir de $u - u^{2}$ .

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Étape 4.4.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{u^{1} - u^{2}}{t (1 + t)}$

Étape 4.4.2

Factorisez $u$ à partir de $u^{1}$ .

$\frac{u \cdot 1 - u^{2}}{t (1 + t)}$

Étape 4.4.3

Factorisez $u$ à partir de $- u^{2}$ .

$\frac{u \cdot 1 + u (- u)}{t (1 + t)}$

Étape 4.4.4

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot 1 + u (- u)$ .

$\frac{u (1 - u)}{t (1 + t)}$

Étape 4.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + t)}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}{t (1 + t)}$

Étape 5

Placez ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t (1 + t) {(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 6

Multipliez $1 + t$ par ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1

Déplacez ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t ({(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} (1 + t))}$

Étape 6.2

Multipliez ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ par $1 + t$ .

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Étape 6.2.1

Élevez $1 + t$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t ({(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} {(1 + t)}^{1})}$

Étape 6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{- \frac{1}{2} + 1}}$

Étape 6.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{\frac{- 1 + 2}{2}}}$

Étape 6.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$