Algèbre Exemples

$x^{2} - 4 n x + 4 m > 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 4 n x + 4 m = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4 n$ et $c = 4 m$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 n \pm \sqrt{{(- 4 n)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (4 m))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{4 n \pm \sqrt{{(- 4 n)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (4 m))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Laissez $u = 1 \cdot (4 m)$ . Remplacez toutes les occurrences de $1 \cdot (4 m)$ par $u$ .

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Étape 4.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $- 4 n$ .

$x = \frac{4 n \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} n^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 n \pm \sqrt{16 n^{2} - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Factorisez $4$ à partir de $16 n^{2} - 4 u$ .

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Étape 4.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $16 n^{2}$ .

$x = \frac{4 n \pm \sqrt{4 (4 n^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$x = \frac{4 n \pm \sqrt{4 (4 n^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (4 n^{2}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{4 n \pm \sqrt{4 (4 n^{2} - u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 \cdot (4 m)$ .

$x = \frac{4 n \pm \sqrt{4 (4 n^{2} - (1 \cdot (4 m)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.1

Multipliez $4 m$ par $1$ .

$x = \frac{4 n \pm \sqrt{4 (4 n^{2} - (4 m))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$x = \frac{4 n \pm \sqrt{4 (4 n^{2} - 4 m)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6

Factorisez $4$ à partir de $4 n^{2} - 4 m$ .

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Étape 4.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4 n^{2}$ .

$x = \frac{4 n \pm \sqrt{4 (4 (n^{2}) - 4 m)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 m$ .

$x = \frac{4 n \pm \sqrt{4 (4 (n^{2}) + 4 (- m))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (n^{2}) + 4 (- m)$ .

$x = \frac{4 n \pm \sqrt{4 (4 (n^{2} - m))}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{4 n \pm \sqrt{4 \cdot (4 (n^{2} - m))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.7

Multipliez $4$ par $4$ .

$x = \frac{4 n \pm \sqrt{16 (n^{2} - m)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.8

Réécrivez $16 (n^{2} - m)$ comme ${(2^{2})}^{2} (n^{2} - m)$ .

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Étape 4.1.8.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{4 n \pm \sqrt{4^{2} (n^{2} - m)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 n \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (n^{2} - m)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 n \pm 2^{2} \sqrt{n^{2} - m}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 n \pm 4 \sqrt{n^{2} - m}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 n \pm 4 \sqrt{n^{2} - m}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{4 n \pm 4 \sqrt{n^{2} - m}}{2}$ .

$x = 2 n \pm 2 \sqrt{n^{2} - m}$

Étape 5

Consolidez les solutions.

$x = 2 n + 2 \sqrt{n^{2} - m}$

$x = 2 n - 2 \sqrt{n^{2} - m}$