Algèbre Exemples

$\frac{20 x - 4 x^{2}}{2 x^{2} + 2 x} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x + 10} \div \frac{x^{2} - 11 x + 10}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{20 x - 4 x^{2}}{2 x^{2} + 2 x} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Étape 2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1

Factorisez $4 x$ à partir de $20 x - 4 x^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $20 x$ .

$\frac{4 x (5) - 4 x^{2}}{2 x^{2} + 2 x} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Étape 2.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{4 x (5) + 4 x (- x)}{2 x^{2} + 2 x} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Étape 2.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (5) + 4 x (- x)$ .

$\frac{4 x (5 - x)}{2 x^{2} + 2 x} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Étape 2.2

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{2} + 2 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{4 x (5 - x)}{2 x (x) + 2 x} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Étape 2.2.2

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{4 x (5 - x)}{2 x (x) + 2 x (1)} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Étape 2.2.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x) + 2 x (1)$ .

$\frac{4 x (5 - x)}{2 x (x + 1)} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$\frac{4 x (5 - x)}{2 x (x + 1)} \cdot \frac{x^{2} - 10^{2}}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 10$ .

$\frac{4 x (5 - x)}{2 x (x + 1)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x (5 - x)$ .

$\frac{2 (2 x (5 - x))}{2 x (x + 1)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Étape 4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x (x + 1)$ .

$\frac{2 (2 x (5 - x))}{2 (x (x + 1))} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Étape 4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 x (5 - x))}{2 (x (x + 1))} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Étape 4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x (5 - x)}{x (x + 1)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x (5 - x)}{x (x + 1)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (5 - x)}{x + 1} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $x + 10$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (5 - x)}{x + 1} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{x + 10} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Étape 4.3.2

Divisez $x - 10$ par $1$ .

$\frac{2 (5 - x)}{x + 1} \cdot (x - 10) \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{2 (5 - x)}{x + 1}$ par $x - 10$ .

$\frac{2 (5 - x) (x - 10)}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 11 x + 10}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 (5 - x) (x - 10)}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2} - 11 x + 10}$

Étape 5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{2 (5 - x) (x - 10)}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} - 11 x + 10}$

Étape 6

Factorisez $x^{2} - 11 x + 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $10$ et dont la somme est $- 11$ .

$- 10, - 1$

Étape 6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 (5 - x) (x - 10)}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 10) (x - 1)}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $x - 10$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $x - 10$ à partir de $2 (5 - x) (x - 10)$ .

$\frac{(x - 10) (2 (5 - x))}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 10) (x - 1)}$

Étape 7.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 10) (2 (5 - x))}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 10) (x - 1)}$

Étape 7.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (5 - x)}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (5 - x)}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 (5 - x) \frac{x - 1}{x - 1}$

Étape 7.3

Associez $\frac{x - 1}{x - 1}$ et $2$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{x - 1} (5 - x)$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{x - 1} (5 - x)$

Étape 7.4.2

Divisez $2$ par $1$ .

$2 (5 - x)$

Étape 7.5

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 5 + 2 (- x)$

Étape 7.6

Multipliez.

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Étape 7.6.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$10 + 2 (- x)$

Étape 7.6.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$10 - 2 x$