Algèbre Exemples

$y^{2} (x^{2} - 4) = x + 2$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $y^{2} (x^{2} - 4) = x + 2$ par $x^{2} - 4$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $y^{2} (x^{2} - 4) = x + 2$ par $x^{2} - 4$ .

$\frac{y^{2} (x^{2} - 4)}{x^{2} - 4} = \frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{2}{x^{2} - 4}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} - 4$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} (x^{2} - 4)}{x^{2} - 4} = \frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{2}{x^{2} - 4}$

Étape 1.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{2}{x^{2} - 4}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y^{2} = \frac{x + 2}{x^{2} - 4}$

Étape 1.3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y^{2} = \frac{x + 2}{x^{2} - 2^{2}}$

Étape 1.3.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$y^{2} = \frac{x + 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.3.3

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = \frac{x + 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = \frac{1}{x - 2}$

Étape 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{x - 2}}$

Étape 3

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x - 2}}$

Étape 3.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ par $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{x - 2}} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$

Étape 3.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ par $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}}$

Étape 3.4.2

Élevez $\sqrt{x - 2}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} \sqrt{x - 2}}$

Étape 3.4.3

Élevez $\sqrt{x - 2}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} {\sqrt{x - 2}}^{1}}$

Étape 3.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{2}}$

Étape 3.4.6

Réécrivez ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ comme $x - 2$ .

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Étape 3.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 2}$ comme ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{1}}$

Étape 3.4.6.5

Simplifiez

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

Étape 4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

Étape 4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

Étape 4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

$y = - \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

$y = \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

$y = - \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

Étape 5

Définissez le radicande dans $\sqrt{x - 2}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x - 2 \geq 0$

Étape 6

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x \geq 2$

Étape 7

Définissez le dénominateur dans $\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 2 = 0$

Étape 8

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 9

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > 2}$

Étape 10

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \in ℝ}$

Étape 11

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $(2, \infty), {x | x > 2}$

Plage : $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Étape 12