Algèbre Exemples

$\frac{x - 1}{x^{2} + x - 6} - \frac{x - 2}{x^{2} + 4 x + 3}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2} + x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $1$ .

$- 2, 3$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x - 1}{(x - 2) (x + 3)} - \frac{x - 2}{x^{2} + 4 x + 3}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} + 4 x + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $4$ .

$1, 3$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x - 1}{(x - 2) (x + 3)} - \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x - 1}{(x - 2) (x + 3)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{(x - 2) (x + 3)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x - 1}{(x - 2) (x + 3)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 2) (x + 3) (x + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x - 1}{(x - 2) (x + 3)}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{(x - 2) (x + 3) (x + 1)} - \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{(x - 2) (x + 3) (x + 1)} - \frac{(x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) (x + 3) (x + 1)$ .

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)} - \frac{(x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x - 1) (x + 1) - (x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(x - 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x + 1) - 1 (x + 1) - (x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x + 1) - (x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1 - (x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.2

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1$ .

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Étape 6.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot 1$ et $- 1 x$ .

$\frac{x \cdot x + 1 x - 1 x - 1 \cdot 1 - (x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.2.2

Soustrayez $1 x$ de $1 x$ .

$\frac{x \cdot x + 0 - 1 \cdot 1 - (x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.2.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$\frac{x \cdot x - 1 \cdot 1 - (x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot 1 - (x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 - (x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 1 + (- x - - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 1 + (- x + 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.6

Développez $(- x + 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 1 - x (x - 2) + 2 (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 1 - x \cdot x - x \cdot - 2 + 2 (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 1 - x \cdot x - x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.7.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 - (x \cdot x) - x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.7.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 - x^{2} - x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.7.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 1 - x^{2} + 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.7.1.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 1 - x^{2} + 2 x + 2 x - 4}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.7.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{x^{2} - 1 - x^{2} + 4 x - 4}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.8

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{0 - 1 + 4 x - 4}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.9

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{- 1 + 4 x - 4}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Étape 6.10

Soustrayez $4$ de $- 1$ .

$\frac{4 x - 5}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$