Algèbre Exemples

$1 = \cot^{2} (x) + \csc (x)$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\cot^{2} (x) + \csc (x) = 1$ .

$\cot^{2} (x) + \csc (x) = 1$

Étape 2

Remplacez le $\cot^{2} (x)$ par $\csc^{2} (x) - 1$ d’après l’identité $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) + \csc (x) = 1$

Étape 3

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$\csc^{2} (x) + \csc (x) - 1 = 1$

Étape 4

Remplacez $\csc (x)$ par $u$ .

${(u)}^{2} + u - 1 = 1$

Étape 5

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} + u - 1 - 1 = 0$

Étape 6

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$u^{2} + u - 2 = 0$

Étape 7

Factorisez $u^{2} + u - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Étape 8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Étape 9

Définissez $u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 9.1

Définissez $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 9.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 10

Définissez $u + 2$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 10.1

Définissez $u + 2$ égal à $0$ .

$u + 2 = 0$

Étape 10.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 2$

Étape 11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 1) (u + 2) = 0$ vraie.

$u = 1, - 2$

Étape 12

Remplacez $u$ par $\csc (x)$ .

$\csc (x) = 1, - 2$

Étape 13

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\csc (x) = 1$

$\csc (x) = - 2$

Étape 14

Résolvez $x$ dans $\csc (x) = 1$ .

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Étape 14.1

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cosécante.

$x = arccsc (1)$

Étape 14.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 14.2.1

La valeur exacte de $arccsc (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 14.3

La fonction cosécante est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{2}$

Étape 14.4

Simplifiez $π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 14.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 14.4.2

Associez les fractions.

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Étape 14.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 14.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 14.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.4.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 14.4.3.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 14.5

Déterminez la période de $\csc (x)$ .

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Étape 14.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 14.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 14.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 14.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 14.6

La période de la fonction $\csc (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 15

Résolvez $x$ dans $\csc (x) = - 2$ .

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Étape 15.1

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cosécante.

$x = arccsc (- 2)$

Étape 15.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 15.2.1

La valeur exacte de $arccsc (- 2)$ est $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Étape 15.3

La fonction cosécante est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 15.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 15.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 15.4.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 15.5

Déterminez la période de $\csc (x)$ .

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Étape 15.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 15.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 15.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 15.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 15.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 15.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{6}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Étape 15.6.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 15.6.3

Associez les fractions.

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Étape 15.6.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 15.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 15.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.6.4.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Étape 15.6.4.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Étape 15.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{11 π}{6}$

Étape 15.7

La période de la fonction $\csc (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 16

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 17

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$