Algèbre Exemples

$g (x) = \log_{3} (3 - 2 x)$

Étape 1

Écrivez $g (x) = \log_{3} (3 - 2 x)$ comme une équation.

$y = \log_{3} (3 - 2 x)$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \log_{3} (3 - 2 y)$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\log_{3} (3 - 2 y) = x$ .

$\log_{3} (3 - 2 y) = x$

Étape 3.2

Réécrivez $\log_{3} (3 - 2 y) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$3^{x} = 3 - 2 y$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $3 - 2 y = 3^{x}$ .

$3 - 2 y = 3^{x}$

Étape 3.3.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 y = 3^{x} - 3$

Étape 3.3.3

Divisez chaque terme dans $- 2 y = 3^{x} - 3$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 y = 3^{x} - 3$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{3^{x}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{3^{x}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Étape 3.3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{3^{x}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Étape 3.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{3^{x}}{2} + \frac{- 3}{- 2}$

Étape 3.3.3.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = - \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $g^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$g^{- 1} (x) = - \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $g^{- 1} (x) = - \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}$ est l’inverse de $g (x) = \log_{3} (3 - 2 x)$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $g^{- 1} (g (x)) = x$ et $g (g^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $g^{- 1} (g (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$g^{- 1} (g (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x))$ en remplaçant la valeur de $g$ par $g^{- 1}$ .

$g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x)) = - \frac{3^{\log_{3} (3 - 2 x)}}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x)) = \frac{- 3^{\log_{3} (3 - 2 x)} + 3}{2}$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x)) = \frac{- (3 - 2 x) + 3}{2}$

Étape 5.2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x)) = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 2 x) + 3}{2}$

Étape 5.2.4.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x)) = \frac{- 3 - (- 2 x) + 3}{2}$

Étape 5.2.4.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x)) = \frac{- 3 + 2 x + 3}{2}$

Étape 5.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.5.1

Associez les termes opposés dans $- 3 + 2 x + 3$ .

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Étape 5.2.5.1.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x)) = \frac{2 x + 0}{2}$

Étape 5.2.5.1.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x)) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x)) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.5.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$g^{- 1} (\log_{3} (3 - 2 x)) = x$

Étape 5.3

Évaluez $g (g^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$g (g^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2})$ en remplaçant la valeur de $g^{- 1}$ par $g$ .

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 - 2 (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}))$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 - 2 (- \frac{3^{x}}{2}) - 2 (\frac{3}{2}))$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3^{x}}{2}$ dans le numérateur.

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 - 2 \frac{- 3^{x}}{2} - 2 (\frac{3}{2}))$

Étape 5.3.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 + 2 (- 1) (\frac{- 3^{x}}{2}) - 2 (\frac{3}{2}))$

Étape 5.3.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 + 2 \cdot (- 1 \frac{- 3^{x}}{2}) - 2 (\frac{3}{2}))$

Étape 5.3.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 - 1 (- 3^{x}) - 2 (\frac{3}{2}))$

Étape 5.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 + 1 \cdot 3^{x} - 2 (\frac{3}{2}))$

Étape 5.3.3.4

Multipliez $3^{x}$ par $1$ .

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 + 3^{x} - 2 (\frac{3}{2}))$

Étape 5.3.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 + 3^{x} + 2 (- 1) (\frac{3}{2}))$

Étape 5.3.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 + 3^{x} + 2 \cdot (- 1 (\frac{3}{2})))$

Étape 5.3.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 + 3^{x} - 1 \cdot 3)$

Étape 5.3.3.6

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3 + 3^{x} - 3)$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $3 + 3^{x} - 3$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (0 + 3^{x})$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $0$ et $3^{x}$ .

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = \log_{3} (3^{x})$

Étape 5.3.5

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x$ de l’exposant.

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = x \log_{3} (3)$

Étape 5.3.6

La base logarithmique $3$ de $3$ est $1$ .

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = x \cdot 1$

Étape 5.3.7

Multipliez $x$ par $1$ .

$g (- \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $g^{- 1} (g (x)) = x$ et $g (g^{- 1} (x)) = x$ , $g^{- 1} (x) = - \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}$ est l’inverse de $g (x) = \log_{3} (3 - 2 x)$ .

$g^{- 1} (x) = - \frac{3^{x}}{2} + \frac{3}{2}$