Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 1}{x + 2} \cdot \frac{2 x + 4}{2 - 2 x^{2}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x + 2} \cdot \frac{2 x + 4}{2 - 2 x^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2} \cdot \frac{2 x + 4}{2 - 2 x^{2}}$

Étape 2

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 4$ .

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2} \cdot \frac{2 (x) + 4}{2 - 2 x^{2}}$

Étape 2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2} \cdot \frac{2 x + 2 \cdot 2}{2 - 2 x^{2}}$

Étape 2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot 2$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2} \cdot \frac{2 (x + 2)}{2 - 2 x^{2}}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 - 2 x^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2} \cdot \frac{2 (x + 2)}{2 (1) - 2 x^{2}}$

Étape 3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2} \cdot \frac{2 (x + 2)}{2 (1) + 2 (- x^{2})}$

Étape 3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- x^{2})$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2} \cdot \frac{2 (x + 2)}{2 (1 - x^{2})}$

Étape 3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2} \cdot \frac{2 (x + 2)}{2 (1^{2} - x^{2})}$

Étape 3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2} \cdot \frac{2 (x + 2)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 4.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $2 (x + 2)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2} \cdot \frac{(x + 2) \cdot 2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2} \cdot \frac{(x + 2) \cdot 2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.3

Réécrivez l’expression.

$(x + 1) (x - 1) \cdot \frac{2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 5

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x (x - 1) + 1 (x - 1)) \cdot \frac{2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) \cdot \frac{2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) \cdot \frac{2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) \cdot \frac{2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 6.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$(x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) \cdot \frac{2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 6.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$(x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) \cdot \frac{2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 6.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$(x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) \cdot \frac{2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 6.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(x^{2} - x + x - 1) \cdot \frac{2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 6.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$(x^{2} + 0 - 1) \cdot \frac{2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 6.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$(x^{2} - 1) \cdot \frac{2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.1

Annulez le facteur commun.

$(x^{2} - 1) \cdot \frac{2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Étape 7.1.2

Réécrivez l’expression.

$(x^{2} - 1) \cdot \frac{1}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 7.2

Multipliez $x^{2} - 1$ par $\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\frac{x^{2} - 1}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 8.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 9

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun à $x + 1$ et $1 + x$ .

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Étape 9.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (1 - x)}$

Étape 9.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (1 - x)}$

Étape 9.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 1}{1 - x}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun à $x - 1$ et $1 - x$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{- 1 (- x) - 1}{1 - x}$

Étape 9.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (- x) - 1 (1)}{1 - x}$

Étape 9.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (- x + 1)}{1 - x}$

Étape 9.2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

Étape 9.2.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

Étape 9.2.6

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$