Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 1}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 1}$ comme une équation.

$y = \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 1}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1} = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1} = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1}) = 2 x$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1})$ .

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Étape 3.3.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{2 y + 1}$ .

$2 \frac{\sqrt{2 y + 1}}{2} = 2 x$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\sqrt{2 y + 1}}{2} = 2 x$

Étape 3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2 y + 1} = 2 x$

Étape 3.4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{2 y + 1}}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Étape 3.5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 y + 1}$ comme ${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez ${({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Étape 3.5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Étape 3.5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 y + 1)}^{1} = {(2 x)}^{2}$

Étape 3.5.2.1.2

Simplifiez

$2 y + 1 = {(2 x)}^{2}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.1

Simplifiez ${(2 x)}^{2}$ .

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Étape 3.5.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$2 y + 1 = 2^{2} x^{2}$

Étape 3.5.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$2 y + 1 = 4 x^{2}$

Étape 3.6

Résolvez $y$ .

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Étape 3.6.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 y = 4 x^{2} - 1$

Étape 3.6.2

Divisez chaque terme dans $2 y = 4 x^{2} - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.6.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y = 4 x^{2} - 1$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.6.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{4 x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 3.6.2.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (2 x^{2})}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.6.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.2.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = \frac{2 (2 x^{2})}{2 (1)} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.6.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 1} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.6.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.6.2.3.1.1.2.4

Divisez $2 x^{2}$ par $1$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.6.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1})}^{2} - \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 {(\frac{\sqrt{2 x + 1}}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2 x + 1}}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{\sqrt{2 x + 1}}^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.3

Réécrivez ${\sqrt{2 x + 1}}^{2}$ comme $2 x + 1$ .

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Étape 5.2.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x + 1}$ comme ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.3.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{4}) - \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2 (2)}) - \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2 \cdot 2}) - \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 5.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x + 1 - 1}{2}$

Étape 5.2.4.2

Associez les termes opposés dans $2 x + 1 - 1$ .

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Étape 5.2.4.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Étape 5.2.4.2.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.4.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (2 x^{2} - \frac{1}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (2 x^{2} - \frac{1}{2}) + 1}$

Étape 5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (2 x^{2}) + 2 (- \frac{1}{2}) + 1}$

Étape 5.3.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 2 (- \frac{1}{2}) + 1}$

Étape 5.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 2 (\frac{- 1}{2}) + 1}$

Étape 5.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 2 (\frac{- 1}{2}) + 1}$

Étape 5.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} - 1 + 1}$

Étape 5.3.6

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 5.3.6.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 0}$

Étape 5.3.6.2

Additionnez $4 x^{2}$ et $0$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2}}$

Étape 5.3.7

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{(2 x)}^{2}}$

Étape 5.3.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Étape 5.3.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.9.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Étape 5.3.9.2

Annulez le facteur commun.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Étape 5.3.9.3

Réécrivez l’expression.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$