Algèbre Exemples

$\frac{- 9 x}{x^{2} - 8 x} \cdot \frac{9 x^{3} + 36 x^{2} - 189 x}{x^{2} - 10 x + 21} \div \frac{x + 7}{x^{2} - 15 x + 56}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{- 9 x}{x^{2} - 8 x} \cdot \frac{9 x^{3} + 36 x^{2} - 189 x}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Étape 2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 8 x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{- 9 x}{x \cdot x - 8 x} \cdot \frac{9 x^{3} + 36 x^{2} - 189 x}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Étape 2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 8 x$ .

$\frac{- 9 x}{x \cdot x + x \cdot - 8} \cdot \frac{9 x^{3} + 36 x^{2} - 189 x}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Étape 2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 8$ .

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{9 x^{3} + 36 x^{2} - 189 x}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Factorisez $9 x$ à partir de $9 x^{3} + 36 x^{2} - 189 x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $9 x$ à partir de $9 x^{3}$ .

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{9 x (x^{2}) + 36 x^{2} - 189 x}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Étape 3.1.2

Factorisez $9 x$ à partir de $36 x^{2}$ .

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{9 x (x^{2}) + 9 x (4 x) - 189 x}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Étape 3.1.3

Factorisez $9 x$ à partir de $- 189 x$ .

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{9 x (x^{2}) + 9 x (4 x) + 9 x (- 21)}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Étape 3.1.4

Factorisez $9 x$ à partir de $9 x (x^{2}) + 9 x (4 x)$ .

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{9 x (x^{2} + 4 x) + 9 x (- 21)}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Étape 3.1.5

Factorisez $9 x$ à partir de $9 x (x^{2} + 4 x) + 9 x (- 21)$ .

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{9 x (x^{2} + 4 x - 21)}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Étape 3.2

Factorisez $x^{2} + 4 x - 21$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 21$ et dont la somme est $4$ .

$- 3, 7$

Étape 3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{9 x ((x - 3) (x + 7))}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{9 x (x - 3) (x + 7)}{x^{2} - 10 x + 21} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Étape 4

Factorisez $x^{2} - 10 x + 21$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $21$ et dont la somme est $- 10$ .

$- 7, - 3$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{9 x (x - 3) (x + 7)}{(x - 7) (x - 3)} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $9 x (x - 3) (x + 7)$ .

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{x ((9 (x - 3)) (x + 7))}{(x - 7) (x - 3)} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 9 x}{x (x - 8)} \cdot \frac{x ((9 (x - 3)) (x + 7))}{(x - 7) (x - 3)} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Étape 5.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 9 x}{x - 8} \cdot \frac{(9 (x - 3)) (x + 7)}{(x - 7) (x - 3)} \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{- 9 x}{x - 8}$ par $\frac{(9 (x - 3)) (x + 7)}{(x - 7) (x - 3)}$ .

$\frac{- 9 x ((9 (x - 3)) (x + 7))}{(x - 8) ((x - 7) (x - 3))} \cdot \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Étape 5.3

Multipliez $9$ par $- 9$ .

$\frac{- 81 x ((x - 3) (x + 7))}{(x - 8) ((x - 7) (x - 3))} \cdot \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $x + 7$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $x + 7$ à partir de $- 81 x ((x - 3) (x + 7))$ .

$\frac{(x + 7) (- 81 x (x - 3))}{(x - 8) ((x - 7) (x - 3))} \cdot \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 7) (- 81 x (x - 3))}{(x - 8) ((x - 7) (x - 3))} \cdot \frac{x^{2} - 15 x + 56}{x + 7}$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 81 x (x - 3)}{(x - 8) ((x - 7) (x - 3))} (x^{2} - 15 x + 56)$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 5.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 81 x (x - 3)}{(x - 8) ((x - 7) (x - 3))} (x^{2} - 15 x + 56)$

Étape 5.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 81 x}{(x - 8) (x - 7)} (x^{2} - 15 x + 56)$

Étape 5.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} (x^{2} - 15 x + 56)$

Étape 5.7

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} x^{2} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} (- 15 x) - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $- \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} x^{2}$ .

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Étape 6.1.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)}$ .

$- \frac{x^{2} (81 x)}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} (- 15 x) - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Étape 6.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.2.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{x \cdot x^{2} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} (- 15 x) - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 6.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{x^{1} x^{2} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} (- 15 x) - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Étape 6.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{x^{1 + 2} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} (- 15 x) - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Étape 6.1.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} (- 15 x) - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Étape 6.2

Multipliez $- \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} (- 15 x)$ .

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Étape 6.2.1

Multipliez $- 15$ par $- 1$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + 15 \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} x - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Étape 6.2.2

Associez $15$ et $\frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)}$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{15 (81 x)}{(x - 8) (x - 7)} x - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Étape 6.2.3

Multipliez $81$ par $15$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 x}{(x - 8) (x - 7)} x - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Étape 6.2.4

Associez $\frac{1215 x}{(x - 8) (x - 7)}$ et $x$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 x \cdot x}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Étape 6.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 (x^{1} x)}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Étape 6.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 (x^{1} x^{1})}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Étape 6.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 x^{1 + 1}}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Étape 6.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 x^{2}}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$

Étape 6.3

Multipliez $- \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)} \cdot 56$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez $56$ par $- 1$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 x^{2}}{(x - 8) (x - 7)} - 56 \frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)}$

Étape 6.3.2

Associez $- 56$ et $\frac{81 x}{(x - 8) (x - 7)}$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 x^{2}}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{- 56 (81 x)}{(x - 8) (x - 7)}$

Étape 6.3.3

Multipliez $81$ par $- 56$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 81}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 x^{2}}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{- 4536 x}{(x - 8) (x - 7)}$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Déplacez $81$ à gauche de $x^{3}$ .

$- \frac{81 \cdot x^{3}}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 x^{2}}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{- 4536 x}{(x - 8) (x - 7)}$

Étape 7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{81 x^{3}}{(x - 8) (x - 7)} + \frac{1215 x^{2}}{(x - 8) (x - 7)} - \frac{4536 x}{(x - 8) (x - 7)}$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 81 x^{3} + 1215 x^{2} - 4536 x}{(x - 8) (x - 7)}$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Factorisez $81 x$ à partir de $- 81 x^{3} + 1215 x^{2} - 4536 x$ .

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Étape 9.1.1

Factorisez $81 x$ à partir de $- 81 x^{3}$ .

$\frac{81 x (- x^{2}) + 1215 x^{2} - 4536 x}{(x - 8) (x - 7)}$

Étape 9.1.2

Factorisez $81 x$ à partir de $1215 x^{2}$ .

$\frac{81 x (- x^{2}) + 81 x (15 x) - 4536 x}{(x - 8) (x - 7)}$

Étape 9.1.3

Factorisez $81 x$ à partir de $- 4536 x$ .

$\frac{81 x (- x^{2}) + 81 x (15 x) + 81 x (- 56)}{(x - 8) (x - 7)}$

Étape 9.1.4

Factorisez $81 x$ à partir de $81 x (- x^{2}) + 81 x (15 x)$ .

$\frac{81 x (- x^{2} + 15 x) + 81 x (- 56)}{(x - 8) (x - 7)}$

Étape 9.1.5

Factorisez $81 x$ à partir de $81 x (- x^{2} + 15 x) + 81 x (- 56)$ .

$\frac{81 x (- x^{2} + 15 x - 56)}{(x - 8) (x - 7)}$

Étape 9.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 9.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 56 = 56$ et dont la somme est $b = 15$ .

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Étape 9.2.1.1

Factorisez $15$ à partir de $15 x$ .

$\frac{81 x (- x^{2} + 15 (x) - 56)}{(x - 8) (x - 7)}$

Étape 9.2.1.2

Réécrivez $15$ comme $7$ plus $8$

$\frac{81 x (- x^{2} + (7 + 8) x - 56)}{(x - 8) (x - 7)}$

Étape 9.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{81 x (- x^{2} + 7 x + 8 x - 56)}{(x - 8) (x - 7)}$

Étape 9.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 9.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{81 x ((- x^{2} + 7 x) + 8 x - 56)}{(x - 8) (x - 7)}$

Étape 9.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{81 x (x (- x + 7) - 8 (- x + 7))}{(x - 8) (x - 7)}$

Étape 9.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 7$ .

$\frac{81 x ((- x + 7) (x - 8))}{(x - 8) (x - 7)}$

$\frac{81 x (- x + 7) (x - 8)}{(x - 8) (x - 7)}$

Étape 10

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 10.1

Annulez le facteur commun de $x - 8$ .

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Étape 10.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{81 x (- x + 7) (x - 8)}{(x - 8) (x - 7)}$

Étape 10.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{81 x (- x + 7)}{x - 7}$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun à $- x + 7$ et $x - 7$ .

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Étape 10.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{81 x (- (x) + 7)}{x - 7}$

Étape 10.2.2

Réécrivez $7$ comme $- 1 (- 7)$ .

$\frac{81 x (- (x) - 1 (- 7))}{x - 7}$

Étape 10.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 7)$ .

$\frac{81 x (- (x - 7))}{x - 7}$

Étape 10.2.4

Réécrivez $- (x - 7)$ comme $- 1 (x - 7)$ .

$\frac{81 x (- 1 (x - 7))}{x - 7}$

Étape 10.2.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{81 x (- 1 (x - 7))}{x - 7}$

Étape 10.2.6

Divisez $81 x \cdot (- 1)$ par $1$ .

$81 x \cdot (- 1)$

Étape 10.3

Multipliez $- 1$ par $81$ .

$- 81 x$