Algèbre Exemples

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ est indéfinie.

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Réduisez.

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Étape 3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 1}$ comme ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

Étape 3.1.2

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{x^{2} + 1}$

Étape 3.1.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.3.1

Multipliez par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Étape 3.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Étape 3.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

Étape 3.1.3.4

Divisez $x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 3.1.4

Placez ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.2

Réécrivez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Étape 3.3

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.4

Évaluez la limite.

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Étape 3.4.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.4.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.4.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.4.5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.4.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.4.7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Étape 3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.6.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.6.1.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1}}$

Étape 3.6.1.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{1}$

Étape 3.6.2

Divisez $1$ par $1$ .

$1$

Étape 4

Évaluez $lim_{x \to - \infty} \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 4.1

Réduisez.

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Étape 4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 1}$ comme ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

Étape 4.1.2

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{x^{2} + 1}$

Étape 4.1.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.3.1

Multipliez par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Étape 4.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Étape 4.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

Étape 4.1.3.4

Divisez $x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 4.1.4

Placez ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2

Réécrivez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Étape 4.3

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.4

Évaluez la limite.

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Étape 4.4.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.4.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 4.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.4.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.4.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.4.5

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.4.6

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.4.7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.4.8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{1 + 0}}$

Étape 4.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.6.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 4.6.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{1 + 0}}$

Étape 4.6.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Étape 4.6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.6.2.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1}}$

Étape 4.6.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$- \frac{1}{1}$

Étape 4.6.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 4.6.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{1}$

Étape 4.6.3.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 1$

Étape 4.6.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 5

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = 1, - 1$

Étape 6

Utilisez la division polynomiale pour déterminer les asymptotes obliques. Comme cette expression contient un radical, la division polynomiale ne peut pas être réalisée.

Asymptotes obliques introuvables

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Asymptotes horizontales : $y = 1, - 1$

Asymptotes obliques introuvables

Étape 8