Algèbre Exemples

$\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 4) < 5$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une égalité.

$\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 4) = 5$

Étape 2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (x (x + 4)) = 5$

Étape 2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot 4) = 5$

Étape 2.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot 4) = 5$

Étape 2.1.3.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 4 x) = 5$

Étape 2.2

Réécrivez $\log_{2} (x^{2} + 4 x) = 5$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$2^{5} = x^{2} + 4 x$

Étape 2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} + 4 x = 2^{5}$ .

$x^{2} + 4 x = 2^{5}$

Étape 2.3.2

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$x^{2} + 4 x = 32$

Étape 2.3.3

Soustrayez $32$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 4 x - 32 = 0$

Étape 2.3.4

Factorisez $x^{2} + 4 x - 32$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.3.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 32$ et dont la somme est $4$ .

$- 4, 8$

Étape 2.3.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 4) (x + 8) = 0$

Étape 2.3.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0$

Étape 2.3.6

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.6.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 2.3.6.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 2.3.7

Définissez $x + 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.7.1

Définissez $x + 8$ égal à $0$ .

$x + 8 = 0$

Étape 2.3.7.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 8$

Étape 2.3.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 4) (x + 8) = 0$ vraie.

$x = 4, - 8$

Étape 3

Déterminez le domaine de $\log_{2} (x^{2} + 4 x) - 5$ .

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\log_{2} (x^{2} + 4 x)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} + 4 x > 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} + 4 x = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 4 x$ .

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x + 4 x = 0$

Étape 3.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $4 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 4 = 0$

Étape 3.2.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 4$ .

$x (x + 4) = 0$

Étape 3.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 3.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.2.5

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.5.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 3.2.5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 3.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 0, - 4$

Étape 3.2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$x > 0$

Étape 3.2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 3.2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 3.2.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 6)}^{2} + 4 (- 6) > 0$

Étape 3.2.8.1.3

Le côté gauche $12$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 3.2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 3.2.8.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 2)}^{2} + 4 (- 2) > 0$

Étape 3.2.8.2.3

Le côté gauche $- 4$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 3.2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 3.2.8.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

${(2)}^{2} + 4 (2) > 0$

Étape 3.2.8.3.3

Le côté gauche $12$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 3.2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < 0$ Faux

$x > 0$ Vrai

$x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < 0$ Faux

$x > 0$ Vrai

Étape 3.2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 4$ ou $x > 0$

Étape 3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 4) \cup (0, \infty)$

Étape 4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Étape 5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 10$

Étape 5.1.2

Remplacez $x$ par $- 10$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{2} (- 10) + \log_{2} ((- 10) + 4) < 5$

Étape 5.1.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

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Étape 5.1.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.1.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 8 < x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 8 < x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 5.2.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{2} (- 6) + \log_{2} ((- 6) + 4) < 5$

Étape 5.2.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

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Étape 5.2.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.2.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 5.3.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{2} (- 2) + \log_{2} ((- 2) + 4) < 5$

Étape 5.3.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.3.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.4

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 5.4.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{2} (2) + \log_{2} ((2) + 4) < 5$

Étape 5.4.3

Le côté gauche $3.5849625$ est inférieur au côté droit $5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 5.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 5.5.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{2} (6) + \log_{2} ((6) + 4) < 5$

Étape 5.5.3

Le côté gauche $5.90689059$ n’est pas inférieur au côté droit $5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 8$ Faux

$- 8 < x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 0$ Faux

$0 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < - 8$ Faux

$- 8 < x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 0$ Faux

$0 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x < 4$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$0 < x < 4$

Notation d’intervalle :

$(0, 4)$

Étape 8