Algèbre Exemples

$\log_{3} (x + 9) < 4$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une égalité.

$\log_{3} (x + 9) = 4$

Étape 2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.1

Réécrivez $\log_{3} (x + 9) = 4$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$3^{4} = x + 9$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme $x + 9 = 3^{4}$ .

$x + 9 = 3^{4}$

Étape 2.2.2

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$x + 9 = 81$

Étape 2.2.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.2.3.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x = 81 - 9$

Étape 2.2.3.2

Soustrayez $9$ de $81$ .

$x = 72$

Étape 3

Déterminez le domaine de $\log_{3} (x + 9) - 4$ .

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\log_{3} (x + 9)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x + 9 > 0$

Étape 3.2

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’inégalité.

$x > - 9$

Étape 3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- 9, \infty)$

Étape 4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 9$

$- 9 < x < 72$

$x > 72$

Étape 5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 9$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 9$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 12$

Étape 5.1.2

Remplacez $x$ par $- 12$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{3} ((- 12) + 9) < 4$

Étape 5.1.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

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Étape 5.1.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.1.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 9 < x < 72$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 9 < x < 72$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 5.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{3} ((0) + 9) < 4$

Étape 5.2.3

Le côté gauche $2$ est inférieur au côté droit $4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 5.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 72$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 72$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 74$

Étape 5.3.2

Remplacez $x$ par $74$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{3} ((74) + 9) < 4$

Étape 5.3.3

Le côté gauche $4.02220205$ n’est pas inférieur au côté droit $4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 9$ Faux

$- 9 < x < 72$ Vrai

$x > 72$ Faux

$x < - 9$ Faux

$- 9 < x < 72$ Vrai

$x > 72$ Faux

Étape 6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 9 < x < 72$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 9 < x < 72$

Notation d’intervalle :

$(- 9, 72)$

Étape 8