Algèbre Exemples

What is the inverse function of the $f (x) = \frac{3 x + 1}{5}$ ?

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{3 x + 1}{5}$ comme une équation.

$y = \frac{3 x + 1}{5}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{3 y + 1}{5}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{3 y + 1}{5} = x$ .

$\frac{3 y + 1}{5} = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés par $5$ .

$\frac{3 y + 1}{5} \cdot 5 = x \cdot 5$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y + 1}{5} \cdot 5 = x \cdot 5$

Étape 3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 y + 1 = x \cdot 5$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$3 y + 1 = 5 x$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 y = 5 x - 1$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $3 y = 5 x - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $3 y = 5 x - 1$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{5 x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{5 x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{3 x + 1}{5}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{5})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{5}) = \frac{5 (\frac{3 x + 1}{5})}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{5}) = \frac{5 (\frac{3 x + 1}{5}) - 1}{3}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{5}) = \frac{5 (\frac{3 x + 1}{5}) - 1}{3}$

Étape 5.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{5}) = \frac{3 x + 1 - 1}{3}$

Étape 5.2.5

Associez les termes opposés dans $3 x + 1 - 1$ .

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Étape 5.2.5.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{5}) = \frac{3 x + 0}{3}$

Étape 5.2.5.2

Additionnez $3 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{5}) = \frac{3 x}{3}$

Étape 5.2.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{5}) = \frac{3 x}{3}$

Étape 5.2.6.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{5}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{3 (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) + 1}{5}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{3 (\frac{5 x}{3}) + 3 (- \frac{1}{3}) + 1}{5}$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{3 (\frac{5 x}{3}) + 3 (- \frac{1}{3}) + 1}{5}$

Étape 5.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{5 x + 3 (- \frac{1}{3}) + 1}{5}$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{5 x + 3 (\frac{- 1}{3}) + 1}{5}$

Étape 5.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{5 x + 3 (\frac{- 1}{3}) + 1}{5}$

Étape 5.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{5 x - 1 + 1}{5}$

Étape 5.3.3.4

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{5 x + 0}{5}$

Étape 5.3.3.5

Additionnez $5 x$ et $0$ .

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{5 x}{5}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{5 x}{5}$

Étape 5.3.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{3 x + 1}{5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} - \frac{1}{3}$