Algèbre Exemples

$f (x) = \sqrt{\frac{1}{9} - x^{2}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{\frac{1}{9} - x^{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{1}{9} - x^{2} \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $\frac{1}{9}$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} \geq - \frac{1}{9}$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - \frac{1}{9}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - \frac{1}{9}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- \frac{1}{9}}{- 1}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- \frac{1}{9}}{- 1}$

Étape 2.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- \frac{1}{9}}{- 1}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x^{2} \leq \frac{\frac{1}{9}}{1}$

Étape 2.2.3.2

Divisez $\frac{1}{9}$ par $1$ .

$x^{2} \leq \frac{1}{9}$

Étape 2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{\frac{1}{9}}$

Étape 2.4

Simplifiez l’équation.

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Étape 2.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq \sqrt{\frac{1}{9}}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez $\sqrt{\frac{1}{9}}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{9}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Étape 2.4.2.1.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$| x | \leq \frac{1}{\sqrt{9}}$

Étape 2.4.2.1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.2.1.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$| x | \leq \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Étape 2.4.2.1.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq \frac{1}{| 3 |}$

Étape 2.4.2.1.3.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$| x | \leq \frac{1}{3}$

Étape 2.5

Écrivez $| x | \leq \frac{1}{3}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 2.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 2.5.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \leq \frac{1}{3}$

Étape 2.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 2.5.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \leq \frac{1}{3}$

Étape 2.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \leq \frac{1}{3} & x \geq 0 \\ - x \leq \frac{1}{3} & x < 0 \end{cases}$

Étape 2.6

Déterminez l’intersection de $x \leq \frac{1}{3}$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \frac{1}{3}$

Étape 2.7

Résolvez $- x \leq \frac{1}{3}$ quand $x < 0$ .

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Étape 2.7.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq \frac{1}{3}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.7.1.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq \frac{1}{3}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\frac{1}{3}}{- 1}$

Étape 2.7.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.7.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\frac{1}{3}}{- 1}$

Étape 2.7.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{\frac{1}{3}}{- 1}$

Étape 2.7.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.7.1.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{1}{3}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \frac{1}{3}$

Étape 2.7.1.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{1}{3}$ comme $- \frac{1}{3}$ .

$x \geq - \frac{1}{3}$

Étape 2.7.2

Déterminez l’intersection de $x \geq - \frac{1}{3}$ et $x < 0$ .

$- \frac{1}{3} \leq x < 0$

Étape 2.8

Déterminez l’union des solutions.

$- \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{3}$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{3}}$

Étape 4

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[0, \frac{1}{3}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | 0 \leq y \leq \frac{1}{3}}$

Étape 5

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $[- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}], {x | - \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{3}}$

Plage : $[0, \frac{1}{3}], {y | 0 \leq y \leq \frac{1}{3}}$

Étape 6