Algèbre Exemples

$x^{2} + \frac{3}{2} x - 3 = 0$

Étape 1

Simplifiez l’équation dans une forme appropriée pour compléter le carré.

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Étape 1.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $x$ .

$x^{2} + \frac{3 x}{2} - 3 = 0$

Étape 1.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} + \frac{3 x}{2} = 3$

Étape 2

Pour créer un carré trinomial du côté gauche de l’équation, trouvez une valeur égale au carré de la moitié de $b$ .

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{3}{4})}^{2}$

Étape 3

Ajoutez le terme de chaque côté de l’équation.

$x^{2} + \frac{3 x}{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} = 3 + {(\frac{3}{4})}^{2}$

Étape 4

Simplifiez l’équation.

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Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$x^{2} + \frac{3 x}{2} + \frac{3^{2}}{4^{2}} = 3 + {(\frac{3}{4})}^{2}$

Étape 4.1.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x^{2} + \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4^{2}} = 3 + {(\frac{3}{4})}^{2}$

Étape 4.1.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x^{2} + \frac{3 x}{2} + \frac{9}{16} = 3 + {(\frac{3}{4})}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $3 + {(\frac{3}{4})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$x^{2} + \frac{3 x}{2} + \frac{9}{16} = 3 + \frac{3^{2}}{4^{2}}$

Étape 4.2.1.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x^{2} + \frac{3 x}{2} + \frac{9}{16} = 3 + \frac{9}{4^{2}}$

Étape 4.2.1.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x^{2} + \frac{3 x}{2} + \frac{9}{16} = 3 + \frac{9}{16}$

Étape 4.2.1.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$x^{2} + \frac{3 x}{2} + \frac{9}{16} = 3 \cdot \frac{16}{16} + \frac{9}{16}$

Étape 4.2.1.3

Associez $3$ et $\frac{16}{16}$ .

$x^{2} + \frac{3 x}{2} + \frac{9}{16} = \frac{3 \cdot 16}{16} + \frac{9}{16}$

Étape 4.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} + \frac{3 x}{2} + \frac{9}{16} = \frac{3 \cdot 16 + 9}{16}$

Étape 4.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1.5.1

Multipliez $3$ par $16$ .

$x^{2} + \frac{3 x}{2} + \frac{9}{16} = \frac{48 + 9}{16}$

Étape 4.2.1.5.2

Additionnez $48$ et $9$ .

$x^{2} + \frac{3 x}{2} + \frac{9}{16} = \frac{57}{16}$

Étape 5

Factorisez le carré trinomial parfait en ${(x + \frac{3}{4})}^{2}$ .

${(x + \frac{3}{4})}^{2} = \frac{57}{16}$

Étape 6

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x + \frac{3}{4} = \pm \sqrt{\frac{57}{16}}$

Étape 6.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{57}{16}}$ .

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Étape 6.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{57}{16}}$ comme $\frac{\sqrt{57}}{\sqrt{16}}$ .

$x + \frac{3}{4} = \pm \frac{\sqrt{57}}{\sqrt{16}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x + \frac{3}{4} = \pm \frac{\sqrt{57}}{\sqrt{4^{2}}}$

Étape 6.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x + \frac{3}{4} = \pm \frac{\sqrt{57}}{4}$

Étape 6.3

Soustrayez $\frac{3}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$x = \pm \frac{\sqrt{57}}{4} - \frac{3}{4}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \pm \frac{\sqrt{57}}{4} - \frac{3}{4}$

Forme décimale :

$x = 1.13745860 \dots, - 2.63745860 \dots$