Algèbre Exemples

$4 x^{2} + 1 \geq 4 x$

Étape 1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$4 x^{2} + 1 - 4 x \geq 0$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$4 x^{2} + 1 - 4 x = 0$

Étape 3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.1

Réorganisez les termes.

$4 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Étape 3.2

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

${(2 x)}^{2} - 4 x + 1 = 0$

Étape 3.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

${(2 x)}^{2} - 4 x + 1^{2} = 0$

Étape 3.4

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 1$

Étape 3.5

Réécrivez le polynôme.

${(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Étape 3.6

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = 2 x$ et $b = 1$ .

${(2 x - 1)}^{2} = 0$

Étape 4

Définissez le $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 7.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$4 {(0)}^{2} + 1 \geq 4 (0)$

Étape 7.1.3

Le côté gauche $1$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 7.2.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$4 {(3)}^{2} + 1 \geq 4 (3)$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $37$ est supérieur au côté droit $12$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 7.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{1}{2}$ Vrai

$x > \frac{1}{2}$ Vrai

$x < \frac{1}{2}$ Vrai

$x > \frac{1}{2}$ Vrai

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq \frac{1}{2}$ ou $x \geq \frac{1}{2}$

Étape 9

Associez les intervalles.

Tous les nombres réels

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Étape 11