Algèbre Exemples

$\frac{x + 7}{x + 5} - \frac{7 x}{x^{2} - 3 x - 40}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} - 3 x - 40$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 40$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 8, 5$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x + 7}{x + 5} - \frac{7 x}{(x - 8) (x + 5)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x + 7}{x + 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{x + 7}{x + 5} \cdot \frac{x - 8}{x - 8} - \frac{7 x}{(x - 8) (x + 5)}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 5) (x - 8)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{x + 7}{x + 5}$ par $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{(x + 7) (x - 8)}{(x + 5) (x - 8)} - \frac{7 x}{(x - 8) (x + 5)}$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $(x - 8) (x + 5)$ .

$\frac{(x + 7) (x - 8)}{(x + 5) (x - 8)} - \frac{7 x}{(x + 5) (x - 8)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 7) (x - 8) - 7 x}{(x + 5) (x - 8)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Développez $(x + 7) (x - 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x - 8) + 7 (x - 8) - 7 x}{(x + 5) (x - 8)}$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 8 + 7 (x - 8) - 7 x}{(x + 5) (x - 8)}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 8 + 7 x + 7 \cdot - 8 - 7 x}{(x + 5) (x - 8)}$

Étape 5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 8 + 7 x + 7 \cdot - 8 - 7 x}{(x + 5) (x - 8)}$

Étape 5.2.1.2

Déplacez $- 8$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 8 \cdot x + 7 x + 7 \cdot - 8 - 7 x}{(x + 5) (x - 8)}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $7$ par $- 8$ .

$\frac{x^{2} - 8 x + 7 x - 56 - 7 x}{(x + 5) (x - 8)}$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 8 x$ et $7 x$ .

$\frac{x^{2} - x - 56 - 7 x}{(x + 5) (x - 8)}$

Étape 5.3

Soustrayez $7 x$ de $- x$ .

$\frac{x^{2} - 8 x - 56}{(x + 5) (x - 8)}$