Algèbre Exemples

$\frac{1}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x^{2} + x}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}} + \frac{2}{x^{2} + x}$

Étape 1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{2}{x^{2} + x}$

Étape 1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + x$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{2}{x \cdot x + x}$

Étape 1.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{2}{x \cdot x + x^{1}}$

Étape 1.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{2}{x \cdot x + x \cdot 1}$

Étape 1.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{2}{x (x + 1)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{2}{x (x + 1)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{2}{x (x + 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{2}{x (x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 1) (x - 1) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1) x} + \frac{2}{x (x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{2}{x (x + 1)}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1) x} + \frac{2 (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 1) (x - 1) x$ .

$\frac{x}{x (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + 2 (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x + 2 x - 2}{x (x + 1) (x - 1)}$

Étape 6.3

Additionnez $x$ et $2 x$ .

$\frac{3 x - 2}{x (x + 1) (x - 1)}$