Algèbre Exemples

$\frac{4 x^{3} + 56 x^{2} + 160 x}{x + 10} \cdot \frac{81 - x^{2}}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{x^{2} - 5 x - 36}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} - 5 x - 36$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 36$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 9, 4$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{4 x^{3} + 56 x^{2} + 160 x}{x + 10} \cdot \frac{81 - x^{2}}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} + 56 x^{2} + 160 x$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\frac{4 x (x^{2}) + 56 x^{2} + 160 x}{x + 10} \cdot \frac{81 - x^{2}}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Étape 2.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $56 x^{2}$ .

$\frac{4 x (x^{2}) + 4 x (14 x) + 160 x}{x + 10} \cdot \frac{81 - x^{2}}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Étape 2.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $160 x$ .

$\frac{4 x (x^{2}) + 4 x (14 x) + 4 x (40)}{x + 10} \cdot \frac{81 - x^{2}}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Étape 2.1.4

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (14 x)$ .

$\frac{4 x (x^{2} + 14 x) + 4 x (40)}{x + 10} \cdot \frac{81 - x^{2}}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Étape 2.1.5

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2} + 14 x) + 4 x (40)$ .

$\frac{4 x (x^{2} + 14 x + 40)}{x + 10} \cdot \frac{81 - x^{2}}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2} + 14 x + 40$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $40$ et dont la somme est $14$ .

$4, 10$

Étape 2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{4 x ((x + 4) (x + 10))}{x + 10} \cdot \frac{81 - x^{2}}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

$\frac{4 x (x + 4) (x + 10)}{x + 10} \cdot \frac{81 - x^{2}}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$\frac{4 x (x + 4) (x + 10)}{x + 10} \cdot \frac{9^{2} - x^{2}}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 9$ et $b = x$ .

$\frac{4 x (x + 4) (x + 10)}{x + 10} \cdot \frac{(9 + x) (9 - x)}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $x + 10$ .

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x (x + 4) (x + 10)}{x + 10} \cdot \frac{(9 + x) (9 - x)}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Étape 4.1.2

Divisez $4 x (x + 4)$ par $1$ .

$4 x (x + 4) \cdot \frac{(9 + x) (9 - x)}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $x + 4$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x + 4$ à partir de $4 x (x + 4) \cdot \frac{(9 + x) (9 - x)}{- x - 9}$ .

$(x + 4) (4 x \cdot \frac{(9 + x) (9 - x)}{- x - 9}) \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Étape 4.2.2

Factorisez $x + 4$ à partir de $(x - 9) (x + 4)$ .

$(x + 4) (4 x \cdot \frac{(9 + x) (9 - x)}{- x - 9}) \cdot \frac{3 x}{(x + 4) (x - 9)}$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun.

$(x + 4) (4 x \cdot \frac{(9 + x) (9 - x)}{- x - 9}) \cdot \frac{3 x}{(x + 4) (x - 9)}$

Étape 4.2.4

Réécrivez l’expression.

$4 x \cdot \frac{(9 + x) (9 - x)}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{x - 9}$

Étape 4.3

Associez $4$ et $\frac{(9 + x) (9 - x)}{- x - 9}$ .

$x \cdot \frac{4 ((9 + x) (9 - x))}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{x - 9}$

Étape 4.4

Associez $x$ et $\frac{4 ((9 + x) (9 - x))}{- x - 9}$ .

$\frac{x (4 ((9 + x) (9 - x)))}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{x - 9}$

Étape 4.5

Multipliez $\frac{x (4 ((9 + x) (9 - x)))}{- x - 9}$ par $\frac{3 x}{x - 9}$ .

$\frac{x (4 ((9 + x) (9 - x))) (3 x)}{(- x - 9) (x - 9)}$

Étape 5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} x (4 ((9 + x) (9 - x))) \cdot 3}{(- x - 9) (x - 9)}$

Étape 6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1} (4 ((9 + x) (9 - x))) \cdot 3}{(- x - 9) (x - 9)}$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 + 1} (4 ((9 + x) (9 - x))) \cdot 3}{(- x - 9) (x - 9)}$

Étape 8

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} (4 ((9 + x) (9 - x))) \cdot 3}{(- x - 9) (x - 9)}$

Étape 8.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{x^{2} (12 ((9 + x) (9 - x)))}{(- x - 9) (x - 9)}$

Étape 9

Annulez le facteur commun à $9 + x$ et $- x - 9$ .

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Étape 9.1

Réécrivez $9$ comme $- 1 (- 9)$ .

$\frac{x^{2} (12 ((- 1 (- 9) + x) (9 - x)))}{(- x - 9) (x - 9)}$

Étape 9.2

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{x^{2} (12 ((- 1 (- 9) - 1 (- x)) (9 - x)))}{(- x - 9) (x - 9)}$

Étape 9.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 9) - 1 (- x)$ .

$\frac{x^{2} (12 (- 1 (- 9 - x) (9 - x)))}{(- x - 9) (x - 9)}$

Étape 9.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} (12 (- 1 (- x - 9) (9 - x)))}{(- x - 9) (x - 9)}$

Étape 9.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (12 (- 1 (- x - 9) (9 - x)))}{(- x - 9) (x - 9)}$

Étape 9.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} (12 (- 1 (9 - x)))}{x - 9}$

Étape 10

Annulez le facteur commun à $9 - x$ et $x - 9$ .

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Étape 10.1

Réécrivez $9$ comme $- 1 (- 9)$ .

$\frac{x^{2} (12 (- 1 (- 1 (- 9) - x)))}{x - 9}$

Étape 10.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{x^{2} (12 (- 1 (- 1 (- 9) - (x))))}{x - 9}$

Étape 10.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 9) - (x)$ .

$\frac{x^{2} (12 (- 1 (- 1 (- 9 + x))))}{x - 9}$

Étape 10.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} (12 (- 1 (- 1 (x - 9))))}{x - 9}$

Étape 10.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (12 (- 1 (- 1 (x - 9))))}{x - 9}$

Étape 10.6

Divisez $x^{2} (12 (- 1 \cdot (- 1)))$ par $1$ .

$x^{2} (12 (- 1 \cdot (- 1)))$

Étape 11

Multipliez $12 (- 1 \cdot (- 1))$ .

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Étape 11.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} (12 \cdot 1)$

Étape 11.2

Multipliez $12$ par $1$ .

$x^{2} \cdot 12$

Étape 12

Déplacez $12$ à gauche de $x^{2}$ .

$12 x^{2}$