Algèbre Exemples

$\frac{x + 1}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{4 x^{2} - 40 x} \div \frac{x^{2} + 9 x - 10}{x^{2} - 100}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x + 1}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{4 x^{2} - 40 x} \frac{x^{2} - 100}{x^{2} + 9 x - 10}$

Étape 2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 1}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{4 x^{2} - 40 x} \frac{x^{2} - 100}{x^{2} + 9 x - 10}$

Étape 2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 \cdot \frac{x^{2} - 1}{4 x^{2} - 40 x} \frac{x^{2} - 100}{x^{2} + 9 x - 10}$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{x^{2} - 1}{4 x^{2} - 40 x}$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{4 x^{2} - 40 x} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x^{2} + 9 x - 10}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{4 x^{2} - 40 x} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x^{2} + 9 x - 10}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{4 x^{2} - 40 x} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x^{2} + 9 x - 10}$

Étape 4

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{2} - 40 x$ .

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Étape 4.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{4 x (x) - 40 x} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x^{2} + 9 x - 10}$

Étape 4.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 40 x$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{4 x (x) + 4 x (- 10)} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x^{2} + 9 x - 10}$

Étape 4.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x) + 4 x (- 10)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{4 x (x - 10)} \cdot \frac{x^{2} - 100}{x^{2} + 9 x - 10}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{4 x (x - 10)} \cdot \frac{x^{2} - 10^{2}}{x^{2} + 9 x - 10}$

Étape 5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 10$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{4 x (x - 10)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{x^{2} + 9 x - 10}$

Étape 6

Factorisez $x^{2} + 9 x - 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 10$ et dont la somme est $9$ .

$- 1, 10$

Étape 6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{4 x (x - 10)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{(x - 1) (x + 10)}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{4 x (x - 10)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{(x - 1) (x + 10)}$

Étape 7.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{4 x (x - 10)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{(x - 1) (x + 10)}$

Étape 7.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 1}{4 x (x - 10)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{x + 10}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $x - 10$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $x - 10$ à partir de $4 x (x - 10)$ .

$\frac{x + 1}{(x - 10) (4 x)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{x + 10}$

Étape 7.2.2

Factorisez $x - 10$ à partir de $(x + 10) (x - 10)$ .

$\frac{x + 1}{(x - 10) (4 x)} \cdot \frac{(x - 10) (x + 10)}{x + 10}$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 1}{(x - 10) (4 x)} \cdot \frac{(x - 10) (x + 10)}{x + 10}$

Étape 7.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 1}{4 x} \cdot \frac{x + 10}{x + 10}$

Étape 7.3

Multipliez $\frac{x + 1}{4 x}$ par $\frac{x + 10}{x + 10}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 10)}{4 x (x + 10)}$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $x + 10$ .

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Étape 7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (x + 10)}{4 x (x + 10)}$

Étape 7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 1}{4 x}$