Algèbre Exemples

$x^{4} + 7 x^{3} - 18 x^{2} - x^{2} - 7 x + 18$

Étape 1

Regroupez les termes.

$x^{4} + 7 x^{3} - 18 x^{2} - x^{2} - 7 x + 18$

Étape 2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} + 7 x^{3} - 18 x^{2}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} + 7 x^{3} - 18 x^{2} - x^{2} - 7 x + 18$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $7 x^{3}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (7 x) - 18 x^{2} - x^{2} - 7 x + 18$

Étape 2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 18 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (7 x) + x^{2} \cdot - 18 - x^{2} - 7 x + 18$

Étape 2.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} (7 x)$ .

$x^{2} (x^{2} + 7 x) + x^{2} \cdot - 18 - x^{2} - 7 x + 18$

Étape 2.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x^{2} + 7 x) + x^{2} \cdot - 18$ .

$x^{2} (x^{2} + 7 x - 18) - x^{2} - 7 x + 18$

Étape 3

Factorisez.

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Étape 3.1

Factorisez $x^{2} + 7 x - 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 18$ et dont la somme est $7$ .

$- 2, 9$

Étape 3.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x^{2} ((x - 2) (x + 9)) - x^{2} - 7 x + 18$

Étape 3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} (x - 2) (x + 9) - x^{2} - 7 x + 18$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 18 = - 18$ et dont la somme est $b = - 7$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $- 7$ à partir de $- 7 x$ .

$x^{2} (x - 2) (x + 9) - x^{2} - 7 (x) + 18$

Étape 4.1.2

Réécrivez $- 7$ comme $2$ plus $- 9$

$x^{2} (x - 2) (x + 9) - x^{2} + (2 - 9) x + 18$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (x - 2) (x + 9) - x^{2} + 2 x - 9 x + 18$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x^{2} (x - 2) (x + 9) + (- x^{2} + 2 x) - 9 x + 18$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{2} (x - 2) (x + 9) + x (- x + 2) + 9 (- x + 2)$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 2$ .

$x^{2} (x - 2) (x + 9) + (- x + 2) (x + 9)$

Étape 5

Factorisez $x + 9$ à partir de $x^{2} (x - 2) (x + 9) + (- x + 2) (x + 9)$ .

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Étape 5.1

Factorisez $x + 9$ à partir de $x^{2} (x - 2) (x + 9)$ .

$(x + 9) (x^{2} (x - 2)) + (- x + 2) (x + 9)$

Étape 5.2

Factorisez $x + 9$ à partir de $(- x + 2) (x + 9)$ .

$(x + 9) (x^{2} (x - 2)) + (x + 9) (- x + 2)$

Étape 5.3

Factorisez $x + 9$ à partir de $(x + 9) (x^{2} (x - 2)) + (x + 9) (- x + 2)$ .

$(x + 9) (x^{2} (x - 2) - x + 2)$

Étape 6

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 9) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 - x + 2)$

Étape 7

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 7.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x + 9) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 2 - x + 2)$

Étape 7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x + 9) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2 - x + 2)$

Étape 7.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$(x + 9) (x^{3} + x^{2} \cdot - 2 - x + 2)$

Étape 8

Déplacez $- 2$ à gauche de $x^{2}$ .

$(x + 9) (x^{3} - 2 x^{2} - x + 2)$

Étape 9

Factorisez.

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Étape 9.1

Réécrivez $x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$ en forme factorisée.

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Étape 9.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 9.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 9) ((x^{3} - 2 x^{2}) - x + 2)$

Étape 9.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 9) (x^{2} (x - 2) - (x - 2))$

Étape 9.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 2$ .

$(x + 9) ((x - 2) (x^{2} - 1))$

Étape 9.1.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(x + 9) ((x - 2) (x^{2} - 1^{2}))$

Étape 9.1.4

Factorisez.

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Étape 9.1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x + 9) ((x - 2) ((x + 1) (x - 1)))$

Étape 9.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 9) ((x - 2) (x + 1) (x - 1))$

Étape 9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 9) (x - 2) (x + 1) (x - 1)$