Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + 3 x - 4}{x^{2} + 4 x + 4} \cdot \frac{2 x^{2} + 4 x}{x^{2} - 4 x + 3}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} + 3 x - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $3$ .

$- 1, 4$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} + 4 x + 4} \cdot \frac{2 x^{2} + 4 x}{x^{2} - 4 x + 3}$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} + 4 x + 2^{2}} \cdot \frac{2 x^{2} + 4 x}{x^{2} - 4 x + 3}$

Étape 2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} \cdot \frac{2 x^{2} + 4 x}{x^{2} - 4 x + 3}$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{2 x^{2} + 4 x}{x^{2} - 4 x + 3}$

Étape 3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{2} + 4 x$ .

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Étape 3.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{2 x (x) + 4 x}{x^{2} - 4 x + 3}$

Étape 3.2

Factorisez $2 x$ à partir de $4 x$ .

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{2 x (x) + 2 x (2)}{x^{2} - 4 x + 3}$

Étape 3.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x) + 2 x (2)$ .

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{2 x (x + 2)}{x^{2} - 4 x + 3}$

Étape 4

Factorisez $x^{2} - 4 x + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 3, - 1$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{2 x (x + 2)}{(x - 3) (x - 1)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez.

$\frac{(x - 1) (x + 4) (2 x (x + 2))}{{(x + 2)}^{2} ((x - 3) (x - 1))}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) (x + 4) (2 x (x + 2))}{{(x + 2)}^{2} ((x - 3) (x - 1))}$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 4) (2 x (x + 2))}{{(x + 2)}^{2} (x - 3)}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun à $x + 2$ et ${(x + 2)}^{2}$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $(x + 4) (2 x (x + 2))$ .

$\frac{(x + 2) ((x + 4) (2 x))}{{(x + 2)}^{2} (x - 3)}$

Étape 5.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $x + 2$ à partir de ${(x + 2)}^{2} (x - 3)$ .

$\frac{(x + 2) ((x + 4) (2 x))}{(x + 2) ((x + 2) (x - 3))}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2) ((x + 4) (2 x))}{(x + 2) ((x + 2) (x - 3))}$

Étape 5.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 4) (2 x)}{(x + 2) (x - 3)}$

Étape 5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $x + 4$ .

$\frac{2 \cdot (x + 4) x}{(x + 2) (x - 3)}$

Étape 5.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{2 (x + 4) x}{(x + 2) (x - 3)}$ .

$\frac{2 x (x + 4)}{(x + 2) (x - 3)}$