Algèbre Exemples

$x^{2} - 48 > - 5 x + 2$

Étape 1

Ajoutez $5 x$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} - 48 + 5 x > 2$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 48 + 5 x = 2$

Étape 3

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 48 + 5 x - 2 = 0$

Étape 4

Soustrayez $2$ de $- 48$ .

$x^{2} + 5 x - 50 = 0$

Étape 5

Factorisez $x^{2} + 5 x - 50$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 50$ et dont la somme est $5$ .

$- 5, 10$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 5) (x + 10) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 10 = 0$

Étape 7

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 7.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 8

Définissez $x + 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x + 10$ égal à $0$ .

$x + 10 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 10$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 5) (x + 10) = 0$ vraie.

$x = 5, - 10$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 10$

$- 10 < x < 5$

$x > 5$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 10$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 10$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 12$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 12$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 12)}^{2} - 48 > - 5 \cdot - 12 + 2$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $96$ est supérieur au côté droit $62$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 10 < x < 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 10 < x < 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} - 48 > - 5 \cdot 0 + 2$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $- 48$ n’est pas supérieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

${(8)}^{2} - 48 > - 5 \cdot 8 + 2$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $16$ est supérieur au côté droit $- 38$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 10$ Vrai

$- 10 < x < 5$ Faux

$x > 5$ Vrai

$x < - 10$ Vrai

$- 10 < x < 5$ Faux

$x > 5$ Vrai

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 10$ ou $x > 5$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - 10 or x > 5$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 10) \cup (5, \infty)$

Étape 14