Algèbre Exemples

$\frac{4 - x^{2}}{- x - 3} \cdot \frac{x + 4}{x - 2} \cdot \frac{- x - 3}{x^{2} + 6 x + 8}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} + 6 x + 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $6$ .

$2, 4$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{4 - x^{2}}{- x - 3} \cdot \frac{x + 4}{x - 2} \cdot \frac{- x - 3}{(x + 2) (x + 4)}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2^{2} - x^{2}}{- x - 3} \cdot \frac{x + 4}{x - 2} \cdot \frac{- x - 3}{(x + 2) (x + 4)}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = x$ .

$\frac{(2 + x) (2 - x)}{- x - 3} \cdot \frac{x + 4}{x - 2} \cdot \frac{- x - 3}{(x + 2) (x + 4)}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{(2 + x) (2 - x)}{- x - 3}$ par $\frac{x + 4}{x - 2}$ .

$\frac{(2 + x) (2 - x) (x + 4)}{(- x - 3) (x - 2)} \cdot \frac{- x - 3}{(x + 2) (x + 4)}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x + 4$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $x + 4$ à partir de $(2 + x) (2 - x) (x + 4)$ .

$\frac{(x + 4) ((2 + x) (2 - x))}{(- x - 3) (x - 2)} \cdot \frac{- x - 3}{(x + 2) (x + 4)}$

Étape 3.2.2

Factorisez $x + 4$ à partir de $(x + 2) (x + 4)$ .

$\frac{(x + 4) ((2 + x) (2 - x))}{(- x - 3) (x - 2)} \cdot \frac{- x - 3}{(x + 4) (x + 2)}$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 4) ((2 + x) (2 - x))}{(- x - 3) (x - 2)} \cdot \frac{- x - 3}{(x + 4) (x + 2)}$

Étape 3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2 + x) (2 - x)}{(- x - 3) (x - 2)} \cdot \frac{- x - 3}{x + 2}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $- x - 3$ .

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 + x) (2 - x)}{(- x - 3) (x - 2)} \cdot \frac{- x - 3}{x + 2}$

Étape 3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2 + x) (2 - x)}{x - 2} \cdot \frac{1}{x + 2}$

Étape 3.4

Multipliez $\frac{(2 + x) (2 - x)}{x - 2}$ par $\frac{1}{x + 2}$ .

$\frac{(2 + x) (2 - x)}{(x - 2) (x + 2)}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun à $2 + x$ et $x + 2$ .

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Étape 3.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(x + 2) (2 - x)}{(x - 2) (x + 2)}$

Étape 3.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2) (2 - x)}{(x - 2) (x + 2)}$

Étape 3.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 - x}{x - 2}$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun à $2 - x$ et $x - 2$ .

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Étape 3.6.1

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (- 2) - x}{x - 2}$

Étape 3.6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- 1 (- 2) - (x)}{x - 2}$

Étape 3.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 2) - (x)$ .

$\frac{- 1 (- 2 + x)}{x - 2}$

Étape 3.6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (x - 2)}{x - 2}$

Étape 3.6.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (x - 2)}{x - 2}$

Étape 3.6.6

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$