Algèbre Exemples

$\frac{6 x^{2} - 216}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{x^{2} - 36}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{6 x^{2} - 216}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{x^{2} - 6^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 6$ .

$\frac{6 x^{2} - 216}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} - 216$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2}$ .

$\frac{6 (x^{2}) - 216}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Étape 2.1.2

Factorisez $6$ à partir de $- 216$ .

$\frac{6 x^{2} + 6 \cdot - 36}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Étape 2.1.3

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} + 6 \cdot - 36$ .

$\frac{6 (x^{2} - 36)}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Étape 2.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{6 (x^{2} - 6^{2})}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 6$ .

$\frac{6 (x + 6) (x - 6)}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} - 2 x - 48$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 48$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 8, 6$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{6 (x + 6) (x - 6)}{(x - 8) (x + 6)} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$\frac{6 (x + 6) (x - 6)}{(x - 8) (x + 6)} \cdot \frac{8^{2} - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 8$ et $b = x$ .

$\frac{6 (x + 6) (x - 6)}{(x - 8) (x + 6)} \cdot \frac{(8 + x) (8 - x)}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Étape 5

Factorisez $x^{2} + 13 x + 40$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $40$ et dont la somme est $13$ .

$5, 8$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{6 (x + 6) (x - 6)}{(x - 8) (x + 6)} \cdot \frac{(8 + x) (8 - x)}{(x + 5) (x + 8)} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $x + 6$ .

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Étape 6.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (x + 6) (x - 6)}{(x - 8) (x + 6)} \cdot \frac{(8 + x) (8 - x)}{(x + 5) (x + 8)} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Étape 6.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 (x - 6)}{x - 8} \cdot \frac{(8 + x) (8 - x)}{(x + 5) (x + 8)} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à $8 + x$ et $x + 8$ .

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Étape 6.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{6 (x - 6)}{x - 8} \cdot \frac{(x + 8) (8 - x)}{(x + 5) (x + 8)} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (x - 6)}{x - 8} \cdot \frac{(x + 8) (8 - x)}{(x + 5) (x + 8)} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 (x - 6)}{x - 8} \cdot \frac{8 - x}{x + 5} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{6 (x - 6)}{x - 8}$ par $\frac{8 - x}{x + 5}$ .

$\frac{6 (x - 6) (8 - x)}{(x - 8) (x + 5)} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $x - 6$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $x - 6$ à partir de $6 (x - 6) (8 - x)$ .

$\frac{(x - 6) (6 (8 - x))}{(x - 8) (x + 5)} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Étape 6.4.2

Factorisez $x - 6$ à partir de $(x + 6) (x - 6)$ .

$\frac{(x - 6) (6 (8 - x))}{(x - 8) (x + 5)} \cdot \frac{- x - 5}{(x - 6) (x + 6)}$

Étape 6.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 6) (6 (8 - x))}{(x - 8) (x + 5)} \cdot \frac{- x - 5}{(x - 6) (x + 6)}$

Étape 6.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 (8 - x)}{(x - 8) (x + 5)} \cdot \frac{- x - 5}{x + 6}$

Étape 6.5

Multipliez $\frac{6 (8 - x)}{(x - 8) (x + 5)}$ par $\frac{- x - 5}{x + 6}$ .

$\frac{6 (8 - x) (- x - 5)}{(x - 8) (x + 5) (x + 6)}$

Étape 6.6

Annulez le facteur commun à $8 - x$ et $x - 8$ .

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Étape 6.6.1

Réécrivez $8$ comme $- 1 (- 8)$ .

$\frac{6 (- 1 (- 8) - x) (- x - 5)}{(x - 8) (x + 5) (x + 6)}$

Étape 6.6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{6 (- 1 (- 8) - (x)) (- x - 5)}{(x - 8) (x + 5) (x + 6)}$

Étape 6.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 8) - (x)$ .

$\frac{6 (- 1 (- 8 + x)) (- x - 5)}{(x - 8) (x + 5) (x + 6)}$

Étape 6.6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{6 (- 1 (x - 8)) (- x - 5)}{(x - 8) (x + 5) (x + 6)}$

Étape 6.6.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (- 1 (x - 8)) (- x - 5)}{(x - 8) (x + 5) (x + 6)}$

Étape 6.6.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 \cdot (- 1) (- x - 5)}{(x + 5) (x + 6)}$

Étape 6.7

Annulez le facteur commun à $- x - 5$ et $x + 5$ .

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Étape 6.7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{6 \cdot (- 1) (- (x) - 5)}{(x + 5) (x + 6)}$

Étape 6.7.2

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$\frac{6 \cdot (- 1) (- (x) - 1 (5))}{(x + 5) (x + 6)}$

Étape 6.7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (5)$ .

$\frac{6 \cdot (- 1) (- (x + 5))}{(x + 5) (x + 6)}$

Étape 6.7.4

Réécrivez $- (x + 5)$ comme $- 1 (x + 5)$ .

$\frac{6 \cdot (- 1) (- 1 (x + 5))}{(x + 5) (x + 6)}$

Étape 6.7.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 \cdot (- 1) (- 1 (x + 5))}{(x + 5) (x + 6)}$

Étape 6.7.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 \cdot (- 1) \cdot (- 1)}{x + 6}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{- 6 \cdot - 1}{x + 6}$

Étape 7.2

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$\frac{6}{x + 6}$