Algèbre Exemples

$\frac{x^{3} (x - 2)}{{(x + 3)}^{2}} < 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{3} = 0$

$x - 2 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Étape 2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 3

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 4

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 5

Définissez le $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 6

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = 2$

$x = - 3$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = 0, 2, - 3$

Étape 9

Déterminez le domaine de $\frac{x^{3} (x - 2)}{{(x + 3)}^{2}}$ .

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Étape 9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{3} (x - 2)}{{(x + 3)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 3)}^{2} = 0$

Étape 9.2

Résolvez $x$ .

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Étape 9.2.1

Définissez le $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 9.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 6)}^{3} ((- 6) - 2)}{{((- 6) + 3)}^{2}} < 0$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $192$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 2)}^{3} ((- 2) - 2)}{{((- 2) + 3)}^{2}} < 0$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $32$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(1)}^{3} ((1) - 2)}{{((1) + 3)}^{2}} < 0$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $- 0.0625$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 11.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(4)}^{3} ((4) - 2)}{{((4) + 3)}^{2}} < 0$

Étape 11.4.3

Le côté gauche $2.61224489$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < 0$ Faux

$0 < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < 0$ Faux

$0 < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x < 2$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$0 < x < 2$

Notation d’intervalle :

$(0, 2)$

Étape 14