Algèbre Exemples

$\frac{2 x + 4}{x + 1} + \frac{5}{x - 2}$

Étape 1

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 4$ .

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 4}{x + 1} + \frac{5}{x - 2}$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot 2}{x + 1} + \frac{5}{x - 2}$

Étape 1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x + 1} + \frac{5}{x - 2}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{2 (x + 2)}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x + 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{5}{x - 2}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{5}{x - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x + 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{5}{x - 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 1) (x - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{2 (x + 2)}{x + 1}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 (x + 2) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{5}{x - 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{5}{x - 2}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2 (x + 2) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{5 (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) (x + 1)$ .

$\frac{2 (x + 2) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{5 (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (x + 2) (x - 2) + 5 (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 2) (x - 2) + 5 (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{(2 x + 4) (x - 2) + 5 (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)}$

Étape 6.3

Développez $(2 x + 4) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x (x - 2) + 4 (x - 2) + 5 (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)}$

Étape 6.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 4 (x - 2) + 5 (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)}$

Étape 6.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 5 (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)}$

Étape 6.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 5 (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)}$

Étape 6.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 5 (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)}$

Étape 6.4.1.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 2 + 5 (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)}$

Étape 6.4.1.3

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 4 x - 8 + 5 (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)}$

Étape 6.4.2

Additionnez $- 4 x$ et $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 0 - 8 + 5 (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)}$

Étape 6.4.3

Additionnez $2 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 + 5 (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)}$

Étape 6.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 8 + 5 x + 5 \cdot 1}{(x + 1) (x - 2)}$

Étape 6.6

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 + 5 x + 5}{(x + 1) (x - 2)}$

Étape 6.7

Additionnez $- 8$ et $5$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 3}{(x + 1) (x - 2)}$

Étape 6.8

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.8.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 6.8.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 (x) - 3}{(x + 1) (x - 2)}$

Étape 6.8.1.2

Réécrivez $5$ comme $- 1$ plus $6$

$\frac{2 x^{2} + (- 1 + 6) x - 3}{(x + 1) (x - 2)}$

Étape 6.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3}{(x + 1) (x - 2)}$

Étape 6.8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.8.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 x^{2} - 1 x) + 6 x - 3}{(x + 1) (x - 2)}$

Étape 6.8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1)}{(x + 1) (x - 2)}$

Étape 6.8.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (x + 3)}{(x + 1) (x - 2)}$