Algèbre Exemples

$x^{3} + 2 x^{2} + x = 0$

Étape 1

Factorisez le plus grand facteur commun de $x$ à partir de $x^{3} + 2 x^{2} + x$ .

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Étape 1.1

Factorisez le plus grand facteur commun de $x$ à partir de chaque terme dans le polynôme.

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Étape 1.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun de $x$ à partir de l’expression $x^{3}$ .

$x (x^{2}) + 2 x^{2} + x$

Étape 1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun de $x$ à partir de l’expression $2 x^{2}$ .

$x (x^{2}) + x (2 x) + x$

Étape 1.1.3

Factorisez le plus grand facteur commun de $x$ à partir de l’expression $x$ .

$x (x^{2}) + x (2 x) + x (1)$

Étape 1.2

Comme tous les termes partagent un facteur commun de $x$ , il peut être factorisé sur chaque terme.

$x (x^{2} + 2 x + 1)$

Étape 2

Appliquez la règle de Descartes sur l’expression intérieure $x^{2} + 2 x + 1$ .

$x^{2} + 2 x + 1$

Étape 3

Pour déterminer le nombre possible de racines positives, regardez les signes sur les coefficients et comptez le nombre de fois que les signes sur les coefficients passent de positif à négatif ou de négatif à positif.

$f (x) = x^{2} + 2 x + 1$

Étape 4

Comme il y a $0$ changements de signes du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $0$ racines positives (règle des signes de Descartes).

Racines positives : $0$

Étape 5

Pour déterminer le nombre possible de racines négatives, remplacez $x$ par $- x$ et renouvelez la comparaison des signes.

$f (- x) = {(- x)}^{2} + 2 (- x) + 1$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{2} x^{2} + 2 (- x) + 1$

Étape 6.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- x) = 1 x^{2} + 2 (- x) + 1$

Étape 6.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f (- x) = x^{2} + 2 (- x) + 1$

Étape 6.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (- x) = x^{2} - 2 x + 1$

Étape 7

Comme il y a $2$ changements de signes du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $2$ racines négatives (règle des signes de Descartes). Les autres nombres possibles des racines négatives sont déterminés en soustrayant des paires des racines (ex : $2 - 2$ ).

Racines négatives : $2$ ou $0$

Étape 8

Le nombre possible de racines positives est $0$ , et le nombre possible de racines négatives est $2$ ou $0$ .

Racines positives : $0$

Racines négatives : $2$ ou $0$