Algèbre Exemples

$y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{2 y + 1}{y - 1}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Multipliez l’équation par $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\frac{2 y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $(y - 1) (x)$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y x - 1 x = (\frac{2 y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y x - x = (\frac{2 y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y x - x = \frac{2 y + 1}{y - 1} (y - 1)$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y x - x = 2 y + 1$

Étape 2.4

Résolvez $y$ .

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Étape 2.4.1

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$y x - x - 2 y = 1$

Étape 2.4.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$y x - 2 y = 1 + x$

Étape 2.4.3

Factorisez $y$ à partir de $y x - 2 y$ .

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Étape 2.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y x$ .

$y (x) - 2 y = 1 + x$

Étape 2.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y$ .

$y (x) + y \cdot - 2 = 1 + x$

Étape 2.4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (x) + y \cdot - 2$ .

$y (x - 2) = 1 + x$

Étape 2.4.4

Divisez chaque terme dans $y (x - 2) = 1 + x$ par $x - 2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (x - 2) = 1 + x$ par $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2} + \frac{x}{x - 2}$

Étape 2.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 2.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2} + \frac{x}{x - 2}$

Étape 2.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{1}{x - 2} + \frac{x}{x - 2}$

Étape 2.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{1 + x}{x - 2}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 2}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{2 x + 1}{x - 1}}{(\frac{2 x + 1}{x - 1}) - 2}$

Étape 4.2.3

Supprimez les parenthèses.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{2 x + 1}{x - 1}}{(\frac{2 x + 1}{x - 1}) - 2}$

Étape 4.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

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Étape 4.2.4.1

Multipliez $\frac{1 + \frac{2 x + 1}{x - 1}}{\frac{2 x + 1}{x - 1} - 2}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{1 + \frac{2 x + 1}{x - 1}}{\frac{2 x + 1}{x - 1} - 2}$

Étape 4.2.4.2

Associez.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (1 + \frac{2 x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1} - 2)}$

Étape 4.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

Étape 4.2.6

Simplifiez en annulant.

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Étape 4.2.6.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 4.2.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

Étape 4.2.6.1.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + 2 x + 1}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

Étape 4.2.6.2

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 4.2.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + 2 x + 1}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

Étape 4.2.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + 2 x + 1}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

Étape 4.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.7.1

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1 + 2 x + 1}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

Étape 4.2.7.2

Additionnez $x$ et $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x - 1 + 1}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

Étape 4.2.7.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x + 0}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

Étape 4.2.7.4

Additionnez $3 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

Étape 4.2.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{2 x + 1 + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2}$

Étape 4.2.8.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{2 x + 1 - 2 \cdot x - 1 \cdot - 2}$

Étape 4.2.8.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{2 x + 1 - 2 \cdot x + 2}$

Étape 4.2.8.4

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{0 + 1 + 2}$

Étape 4.2.8.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{1 + 2}$

Étape 4.2.8.6

Additionnez $1$ et $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{3}$

Étape 4.2.9

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.9.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{3}$

Étape 4.2.9.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{1 + x}{x - 2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{1 + x}{x - 2}) + 1}{(\frac{1 + x}{x - 2}) - 1}$

Étape 4.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 2$ .

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Étape 4.3.3.1

Multipliez $\frac{2 \frac{1 + x}{x - 2} + 1}{\frac{1 + x}{x - 2} - 1}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{x - 2}{x - 2} \cdot \frac{2 (\frac{1 + x}{x - 2}) + 1}{\frac{1 + x}{x - 2} - 1}$

Étape 4.3.3.2

Associez.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2}) + 1)}{(x - 2) (\frac{1 + x}{x - 2} - 1)}$

Étape 4.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 1}{(x - 2) (\frac{1 + x}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 1}$

Étape 4.3.5

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 4.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 1}{(x - 2) (\frac{1 + x}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 1}$

Étape 4.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 1}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Étape 4.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.6.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $(x - 2) \cdot 2 \frac{1 + x}{x - 2} + (x - 2) \cdot 1$ .

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Étape 4.3.6.1.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $(x - 2) \cdot 2 \frac{1 + x}{x - 2}$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 1}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Étape 4.3.6.1.2

Factorisez $x - 2$ à partir de $(x - 2) \cdot 1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) (1)}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Étape 4.3.6.1.3

Factorisez $x - 2$ à partir de $(x - 2) (2 \frac{1 + x}{x - 2}) + (x - 2) (1)$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2}) + 1)}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Étape 4.3.6.2

Associez $2$ et $\frac{1 + x}{x - 2}$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (1 + x)}{x - 2} + 1)}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Étape 4.3.6.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (1 + x)}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Étape 4.3.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (1 + x) + x - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Étape 4.3.6.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 (1 + x) - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Étape 4.3.6.6

Réécrivez $\frac{x + 2 (1 + x) - 2}{x - 2}$ en forme factorisée.

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Étape 4.3.6.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 \cdot 1 + 2 x - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Étape 4.3.6.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 + 2 x - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Étape 4.3.6.6.3

Additionnez $x$ et $2 x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x + 2 - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Étape 4.3.6.6.4

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x + 0}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Étape 4.3.6.6.5

Additionnez $3 x$ et $0$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

Étape 4.3.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x + x \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.7.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x - 1 \cdot x - 2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.7.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x - 1 \cdot x + 2}$

Étape 4.3.7.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x - x + 2}$

Étape 4.3.7.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{x - x + 3}$

Étape 4.3.7.6

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{0 + 3}$

Étape 4.3.7.7

Additionnez $0$ et $3$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{3}$

Étape 4.3.8

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.8.1

Factorisez $\frac{3 x}{x - 2}$ à partir de $\frac{(x - 2) \frac{3 x}{x - 2}}{3}$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{3 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{3}$

Étape 4.3.8.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{3 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{3}$

Étape 4.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{3 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{3}$

Étape 4.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Étape 4.3.8.3

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 4.3.8.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Étape 4.3.8.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 2}$