Algèbre Exemples

$- x^{2} - 2 \geq 8 x + 5$

Étape 1

Soustrayez $8 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} - 2 - 8 x \geq 5$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- x^{2} - 2 - 8 x = 5$

Étape 3

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} - 2 - 8 x - 5 = 0$

Étape 4

Soustrayez $5$ de $- 2$ .

$- x^{2} - 8 x - 7 = 0$

Étape 5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2} - 8 x - 7$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 8 x - 7 = 0$

Étape 5.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 8 x$ .

$- (x^{2}) - (8 x) - 7 = 0$

Étape 5.1.3

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$- (x^{2}) - (8 x) - 1 \cdot 7 = 0$

Étape 5.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (8 x)$ .

$- (x^{2} + 8 x) - 1 \cdot 7 = 0$

Étape 5.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} + 8 x) - 1 (7)$ .

$- (x^{2} + 8 x + 7) = 0$

Étape 5.2

Factorisez.

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Étape 5.2.1

Factorisez $x^{2} + 8 x + 7$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $7$ et dont la somme est $8$ .

$1, 7$

Étape 5.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x + 1) (x + 7)) = 0$

Étape 5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x + 1) (x + 7) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 7 = 0$

Étape 7

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 7.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 8

Définissez $x + 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x + 7$ égal à $0$ .

$x + 7 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 7$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x + 1) (x + 7) = 0$ vraie.

$x = - 1, - 7$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 1$

$x > - 1$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 10$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 10$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(- 10)}^{2} - 2 \geq 8 (- 10) + 5$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $- 102$ est inférieur au côté droit $- 75$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 7 < x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 7 < x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(- 4)}^{2} - 2 \geq 8 (- 4) + 5$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $- 18$ est supérieur au côté droit $- 27$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(0)}^{2} - 2 \geq 8 (0) + 5$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $- 2$ est inférieur au côté droit $5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 7$ Faux

$- 7 < x < - 1$ Vrai

$x > - 1$ Faux

$x < - 7$ Faux

$- 7 < x < - 1$ Vrai

$x > - 1$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 7 \leq x \leq - 1$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 7 \leq x \leq - 1$

Notation d’intervalle :

$[- 7, - 1]$

Étape 14