Algèbre Exemples

$- 2 x^{2} - 25 x < 5 x + 108$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Soustrayez $5 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$- 2 x^{2} - 25 x - 5 x < 108$

Étape 1.2

Soustrayez $5 x$ de $- 25 x$ .

$- 2 x^{2} - 30 x < 108$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- 2 x^{2} - 30 x = 108$

Étape 3

Soustrayez $108$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{2} - 30 x - 108 = 0$

Étape 4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x^{2} - 30 x - 108$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} - 30 x - 108 = 0$

Étape 4.1.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 30 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (15 x) - 108 = 0$

Étape 4.1.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 108$ .

$- 2 x^{2} - 2 (15 x) - 2 \cdot 54 = 0$

Étape 4.1.4

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x^{2}) - 2 (15 x)$ .

$- 2 (x^{2} + 15 x) - 2 \cdot 54 = 0$

Étape 4.1.5

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x^{2} + 15 x) - 2 (54)$ .

$- 2 (x^{2} + 15 x + 54) = 0$

Étape 4.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Factorisez $x^{2} + 15 x + 54$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $54$ et dont la somme est $15$ .

$6, 9$

Étape 4.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 2 ((x + 6) (x + 9)) = 0$

Étape 4.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 2 (x + 6) (x + 9) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 6 = 0$

$x + 9 = 0$

Étape 6

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 7

Définissez $x + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Définissez $x + 9$ égal à $0$ .

$x + 9 = 0$

Étape 7.2

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 9$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 2 (x + 6) (x + 9) = 0$ vraie.

$x = - 6, - 9$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 9$

$- 9 < x < - 6$

$x > - 6$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 9$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 9$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 12$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 12$ dans l’inégalité d’origine.

$- 2 {(- 12)}^{2} - 25 \cdot - 12 < 5 (- 12) + 108$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $12$ est inférieur au côté droit $48$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 9 < x < - 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 9 < x < - 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$- 2 {(- 8)}^{2} - 25 \cdot - 8 < 5 (- 8) + 108$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $72$ n’est pas inférieur au côté droit $68$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$- 2 {(0)}^{2} - 25 \cdot 0 < 5 (0) + 108$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $108$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 9$ Vrai

$- 9 < x < - 6$ Faux

$x > - 6$ Vrai

$x < - 9$ Vrai

$- 9 < x < - 6$ Faux

$x > - 6$ Vrai

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 9$ ou $x > - 6$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - 9 or x > - 6$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 9) \cup (- 6, \infty)$

Étape 13