Algèbre Exemples

$2 x^{2} + 24 x \leq - 8 x - 120$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 1.1

Ajoutez $8 x$ aux deux côtés de l’inégalité.

$2 x^{2} + 24 x + 8 x \leq - 120$

Étape 1.2

Additionnez $24 x$ et $8 x$ .

$2 x^{2} + 32 x \leq - 120$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$2 x^{2} + 32 x = - 120$

Étape 3

Ajoutez $120$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} + 32 x + 120 = 0$

Étape 4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 32 x + 120$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 32 x + 120 = 0$

Étape 4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $32 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (16 x) + 120 = 0$

Étape 4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $120$ .

$2 x^{2} + 2 (16 x) + 2 \cdot 60 = 0$

Étape 4.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 (16 x)$ .

$2 (x^{2} + 16 x) + 2 \cdot 60 = 0$

Étape 4.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} + 16 x) + 2 \cdot 60$ .

$2 (x^{2} + 16 x + 60) = 0$

Étape 4.2

Factorisez.

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Étape 4.2.1

Factorisez $x^{2} + 16 x + 60$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $60$ et dont la somme est $16$ .

$6, 10$

Étape 4.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$2 ((x + 6) (x + 10)) = 0$

Étape 4.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x + 6) (x + 10) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 6 = 0$

$x + 10 = 0$

Étape 6

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 7

Définissez $x + 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x + 10$ égal à $0$ .

$x + 10 = 0$

Étape 7.2

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 10$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (x + 6) (x + 10) = 0$ vraie.

$x = - 6, - 10$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 10$

$- 10 < x < - 6$

$x > - 6$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 10$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 10$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 12$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 12$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(- 12)}^{2} + 24 (- 12) \leq - 8 \cdot - 12 - 120$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $0$ est supérieur au côté droit $- 24$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 10 < x < - 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 10 < x < - 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(- 8)}^{2} + 24 (- 8) \leq - 8 \cdot - 8 - 120$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $- 64$ est inférieur au côté droit $- 56$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(0)}^{2} + 24 (0) \leq - 8 \cdot 0 - 120$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $0$ est supérieur au côté droit $- 120$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 10$ Faux

$- 10 < x < - 6$ Vrai

$x > - 6$ Faux

$x < - 10$ Faux

$- 10 < x < - 6$ Vrai

$x > - 6$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 10 \leq x \leq - 6$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 10 \leq x \leq - 6$

Notation d’intervalle :

$[- 10, - 6]$

Étape 13