Algèbre Exemples

Simplifier $\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} - 1} \div \frac{x^{2} + 6 x}{x^{2} - x}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 6 x}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $3$ .

$1, 2$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 6 x}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 6 x}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 6 x}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 6 x}$

Étape 4.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 6 x}$

Étape 4.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - x$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x \cdot x - x}{x^{2} + 6 x}$

Étape 4.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x \cdot x + x \cdot - 1}{x^{2} + 6 x}$

Étape 4.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x (x - 1)}{x^{2} + 6 x}$

Étape 4.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 6 x$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x (x - 1)}{x \cdot x + 6 x}$

Étape 4.3.2

Factorisez $x$ à partir de $6 x$ .

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x (x - 1)}{x \cdot x + x \cdot 6}$

Étape 4.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 6$ .

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x (x - 1)}{x (x + 6)}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $x (x - 1)$ .

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) x}{x (x + 6)}$

Étape 4.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) x}{x (x + 6)}$

Étape 4.4.3

Réécrivez l’expression.

$(x + 2) \frac{x}{x (x + 6)}$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.5.1

Annulez le facteur commun.

$(x + 2) \frac{x}{x (x + 6)}$

Étape 4.5.2

Réécrivez l’expression.

$(x + 2) \frac{1}{x + 6}$

Étape 4.6

Multipliez $x + 2$ par $\frac{1}{x + 6}$ .

$\frac{x + 2}{x + 6}$