Algèbre Exemples

$\frac{d - 4}{d^{2} + 2 d - 8} - \frac{d + 2}{d^{2} - 16}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $d^{2} + 2 d - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $2$ .

$- 2, 4$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{d - 4}{(d - 2) (d + 4)} - \frac{d + 2}{d^{2} - 16}$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{d - 4}{(d - 2) (d + 4)} - \frac{d + 2}{d^{2} - 4^{2}}$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = d$ et $b = 4$ .

$\frac{d - 4}{(d - 2) (d + 4)} - \frac{d + 2}{(d + 4) (d - 4)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{d - 4}{(d - 2) (d + 4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{d - 4}{d - 4}$ .

$\frac{d - 4}{(d - 2) (d + 4)} \cdot \frac{d - 4}{d - 4} - \frac{d + 2}{(d + 4) (d - 4)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{d + 2}{(d + 4) (d - 4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{d - 2}{d - 2}$ .

$\frac{d - 4}{(d - 2) (d + 4)} \cdot \frac{d - 4}{d - 4} - \frac{d + 2}{(d + 4) (d - 4)} \cdot \frac{d - 2}{d - 2}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(d - 2) (d + 4) (d - 4)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{d - 4}{(d - 2) (d + 4)}$ par $\frac{d - 4}{d - 4}$ .

$\frac{(d - 4) (d - 4)}{(d - 2) (d + 4) (d - 4)} - \frac{d + 2}{(d + 4) (d - 4)} \cdot \frac{d - 2}{d - 2}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{d + 2}{(d + 4) (d - 4)}$ par $\frac{d - 2}{d - 2}$ .

$\frac{(d - 4) (d - 4)}{(d - 2) (d + 4) (d - 4)} - \frac{(d + 2) (d - 2)}{(d + 4) (d - 4) (d - 2)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(d - 2) (d + 4) (d - 4)$ .

$\frac{(d - 4) (d - 4)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)} - \frac{(d + 2) (d - 2)}{(d + 4) (d - 4) (d - 2)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(d + 4) (d - 4) (d - 2)$ .

$\frac{(d - 4) (d - 4)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)} - \frac{(d + 2) (d - 2)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(d - 4) (d - 4) - (d + 2) (d - 2)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(d - 4) (d - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d (d - 4) - 4 (d - 4) - (d + 2) (d - 2)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d \cdot d + d \cdot - 4 - 4 (d - 4) - (d + 2) (d - 2)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d \cdot d + d \cdot - 4 - 4 d - 4 \cdot - 4 - (d + 2) (d - 2)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $d$ par $d$ .

$\frac{d^{2} + d \cdot - 4 - 4 d - 4 \cdot - 4 - (d + 2) (d - 2)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Étape 6.2.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $d$ .

$\frac{d^{2} - 4 \cdot d - 4 d - 4 \cdot - 4 - (d + 2) (d - 2)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$\frac{d^{2} - 4 d - 4 d + 16 - (d + 2) (d - 2)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Étape 6.2.2

Soustrayez $4 d$ de $- 4 d$ .

$\frac{d^{2} - 8 d + 16 - (d + 2) (d - 2)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d^{2} - 8 d + 16 + (- d - 1 \cdot 2) (d - 2)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Étape 6.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{d^{2} - 8 d + 16 + (- d - 2) (d - 2)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Étape 6.5

Développez $(- d - 2) (d - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d^{2} - 8 d + 16 - d (d - 2) - 2 (d - 2)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Étape 6.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d^{2} - 8 d + 16 - d \cdot d - d \cdot - 2 - 2 (d - 2)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Étape 6.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d^{2} - 8 d + 16 - d \cdot d - d \cdot - 2 - 2 d - 2 \cdot - 2}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Étape 6.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.6.1.1

Multipliez $d$ par $d$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.1.1.1

Déplacez $d$ .

$\frac{d^{2} - 8 d + 16 - (d \cdot d) - d \cdot - 2 - 2 d - 2 \cdot - 2}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Étape 6.6.1.1.2

Multipliez $d$ par $d$ .

$\frac{d^{2} - 8 d + 16 - d^{2} - d \cdot - 2 - 2 d - 2 \cdot - 2}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Étape 6.6.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{d^{2} - 8 d + 16 - d^{2} + 2 d - 2 d - 2 \cdot - 2}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Étape 6.6.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{d^{2} - 8 d + 16 - d^{2} + 2 d - 2 d + 4}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Étape 6.6.2

Soustrayez $2 d$ de $2 d$ .

$\frac{d^{2} - 8 d + 16 - d^{2} + 0 + 4}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Étape 6.6.3

Additionnez $- d^{2}$ et $0$ .

$\frac{d^{2} - 8 d + 16 - d^{2} + 4}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Étape 6.7

Soustrayez $d^{2}$ de $d^{2}$ .

$\frac{- 8 d + 16 + 0 + 4}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Étape 6.8

Additionnez $- 8 d$ et $0$ .

$\frac{- 8 d + 16 + 4}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Étape 6.9

Additionnez $16$ et $4$ .

$\frac{- 8 d + 20}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Étape 6.10

Factorisez $4$ à partir de $- 8 d + 20$ .

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Étape 6.10.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8 d$ .

$\frac{4 (- 2 d) + 20}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Étape 6.10.2

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{4 (- 2 d) + 4 (5)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Étape 6.10.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 2 d) + 4 (5)$ .

$\frac{4 (- 2 d + 5)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Étape 7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 d$ .

$\frac{4 (- (2 d) + 5)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Étape 7.2

Réécrivez $5$ comme $- 1 (- 5)$ .

$\frac{4 (- (2 d) - 1 (- 5))}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 d) - 1 (- 5)$ .

$\frac{4 (- (2 d - 5))}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Étape 7.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.4.1

Réécrivez $- (2 d - 5)$ comme $- 1 (2 d - 5)$ .

$\frac{4 (- 1 (2 d - 5))}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Étape 7.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 (2 d - 5)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$